CHUYÊN ĐỀ   TR  C NGHI  M S    PH  C ÔN THI THPT QU  C GIA 2016 - 2017  CHỦ ĐỀ 1. CÁC PHÉP TOÁN CƠ BẢN  Phương pháp  Cho hai s    ph  c                  z   a   bi, z'   a'   b'i, a, b,a', b'   ta c  n nh    các định nghĩa và  p hép tính cơ bả n sau:                                                                                                                                      2   2   2   2   2  a   a' z   z'   . b   b' z   z'   a   a'   b   b' i;   z   z'   a   a'   b   b' i. z.z'   a   bi   a'   b'i   aa'   bb'   ab'   a' b i. a'   b'i   a   bi   aa'   bb'   ab'   a' b i z'   z'.z   . z   z   a   b   a   b  V  n d  ng các tính tính ch  t trên ta có th    d    dàng gi  i các bài toán sau.  Ta cũng cầ n chú ý k  t qu    sau: V  i n  i   , n      thì     N  u     n   4k   k       thì     k n   4k   4  i   i   i   1            N  u     n   4k   1   k          thì n   4k  i   i   i   1.i   i            N  u     n   4k   2   k          thì     n   4k 2  i   i   i   1.   1   1               N  u     n   4k   3   k          thì     n   4k 3  i   i   i   1.   i   i            I. CÁC VÍ D    M  U  Ví d    1 . Cho s    ph  c:      3   1 z   i 2   2   . Tính các s    ph  c sau:     2   3   2  z;   z ; (z) ;1   z   z .  Gi  i  Ta có        3   1 z   i 2   2                                       2 2   3   1   3   3   1   1   3 z   i   i   i 2   2   4   2   4   2   2     Tính 3  (z)                                                                                                                                         3   3   2   2   3 3   3   1   3   3   1   3   1   1 z   i   3.   .   i   3.   .   i   i 2   2   2   2   2   2   2   2 3   3   9   3   3   1 i   i   i 8   8   8   8                                2   3   1   1   3   3   3   1   3 1   z   z   1   i   i   i 2   2   2   2   2   2  Ví d    2.   Tìm ph  n th  c và ph  n    o c  a s    ph  c: a)                     z   9   5i   1   2i ;   b)               z   4   3i   4   5i ;  c)           3  z   2   i   ;   d)      2i z   . i   1  Gi  i www.toanmath.comCHUYÊN ĐỀ   TR  C NGHI  M S    PH  C ÔN THI THPT QU  C GIA 2016 - 2017  a) Ta có:                                             z   9   5i   1   2i   9   1   5   2 i   8   7i  V  y ph  n th  c  a   8   ; ph  n    o  b   7.  b) Ta có:                                 z   4   3i   4   5i   16   20i   12i   15   31   8i  V  y ph  n th  c  a   31   ; ph  n    o  b   8.  c) Ta có:                                        3   2   3  z   2   i   8   3.4.i   3.2.i   i   8   12i   6   i   2   11i  V  y ph  n th  c  a   2   ; ph  n    o  b   11.  d) Ta có:                              2   2  2i i   1 2i   2   2i z   1   i i   1   2 i   1  V  y ph  n th  c  a   1   ; ph  n    o  b   1.  Ví d    3.   Th  c hi  n các phép tính sau: a)                 1 A   1   i   4   3i   ;   b)          5   6i B   4   3i   ;   c)    1 C   1   3 i 2   2  d)     3   2i D   i   ;   e)                2026  1   7i 4   3i  Gi  i  a) Ta có:                                           2   2   2  1   1   1   7   i   7   1 A   i 7   i   50   50 1   i   4   3i   4   3i   4i   3i   7   i  b) Ta có:                                                    2 2  5   6i   4   3i 5   6i   2   39i   2   39 B   i. 4   3i   25   25   25 4   3i  c) Ta có:                               2   2  2 1   3i 1   2   2   2   3i   1   3 C   i 4   2   2 1   3   1   3i   1   3i i 2   2  d) Ta có:                               2 2  3   2i   i 3   2i D   3i   2i   2   3i. i   i  e) Ta có:                                                                                                                  2026 2026   1013 2026   2 1013   1013   1013   1013   1012   1013  1   7i   4   3i 1   7i   1   i   1   i 4   3i   4   3i   4   3i 2i   2   .i   2   .i   .i   2   .i. www.toanmath.com

Chuyên đề trắc nghiệm số phức – Phạm Văn Huy

Tôn trọng quyền tác giả và cam kết không sao lưu bản phụ.   CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG  Biên soạn: Nguyễn Đăng Ái – Kỹ sư tài năng – Bách Khoa Hà Nội.   Trang   3  `  SỐ PHỨC   rất là đơn giản nhưng lại rất quan trọng trong ứng dụng của chính môn Toán và các ngành khoa học kĩ thuật công nghệ. Một tư duy tự nhiên muốn phát triển toàn diện thì nên biết trang bị cho mình kiến thức về số phức thật hoàn chỉnh ngay từ cuối lớp 10 THPT. Nếu như trước kia, số phức chỉ được xem là một câu rất đơn giản trong đề thi tự luận dập khuôn máy móc, thì giờ đây, khi mà BỘ GIÁO DỤC cải cách chuyển sang cơ chế thi Toán trắc nghiệm thì số phức sẽ chiếm một phần đáng kể. Trắc nghiệm là sự toàn diện, có thể hướng tới mọi phần, mọi chuyên đề đều có câu khó câu dễ bình đẳng, tránh học tủ học nòi, chỉ biết chăm chăm vào các câu  Cuốn tài liệu này có trang bị đầy đủ các kiến thức về số phức từ cơ bản đến nâng cao toàn diện. Chúng ta hướng tới sự ứng dụng của số phức trong việc học môn Toán, Vật Lí và trong tương lai các ngành kĩ thuật công nghệ. Tài liệu cũng trình bày các phương pháp và mẹo trắc nghiệm nhanh các câu phức nâng cao, giúp chúng ta có thể tối ưu tuyệt đối kì thi trắc nghiệm của mình bằng tốc độ và sự đa dạng về bài tập mà tác giả biên soạn và sưu tầm. Đặc biệt có một số kiến thức nâng cao sáng tạo độc đáo của tác giả mà phải ngẫm kĩ mới thấy hay. Mọi ý kiến nhận xét và góp ý về cuốn tài liệu này xin gửi về địa chỉ email:  DangAi.kstn.bkhn@gmail.com  Cuối cùng, chúc các em học sinh sử dụng tài liệu một cách hiệu quả. Chúc các em thành công trong kì thi đại học ở tương lai gần và chúc các em có một nền tảng kiến thức vững vàng ở tương lai xa hơn trên giảng đường đại học!  Bách Khoa Hà Nội   ngày 25 tháng 10 năm 2016.  Kỹ sư tài năng   Nguyễn Đăng Ái.Tôn trọng quyền tác giả và cam kết không sao lưu bản phụ.   CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG  4   |   T h u ậ n   T h à n h      B ắ c   N i n h      2 0 1 8

Chuyên đề số phức và ứng dụng – Nguyễn Đăng Ái

ST&BS : Th.S Đ  ng Vi  t Đông Trư  ng THPT Nho Qu an A   S    Ph  c Nâng Cao  File Word liên h  : 0978064165   -   Email:   dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com   Trang   0  Facebook: ht tps://www.facebook.com/dongpayST&BS : Th.S Đ  ng Vi  t Đông Trư  ng THPT Nho Qu an A   S    Ph  c Nâng Cao  File Word liên h  : 0978064165   -   Email:   dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com   Trang   1  Facebook: ht tps://www.facebook.com/dongpay  M  C L  C  A      LÝ THUY  T CHUNG ................................ ................................ ................................ ................................ ..   2  1. S    PH  C   ................................ ................................ ................................ ................................ .....................   2  2. PHÉP C  NG TR    NHÂN CHIA S    PH  C   ................................ ................................ .............................   2  3. T  P H  P ĐI  M BI  U D I  N S    PH  C   ................................ ................................ ................................ ...   3  4. PHƯƠNG TR   C HAI V  I H    S    TH  C   ................................ ................................ .....................   3  5. BÀI TOÁN LIÊN QUAN Đ  N MAX      MIN MÔ ĐUN S    PH  C   ................................ ...........................   4  B      BÀI T  P TR  C NGHI  M  ................................ ................................ ................................ ...........................   6  D  NG 1: TÍNH TOÁN VÀ CÁC Y  U T    TR     PH  C   ................................ ................................ .......   6  D  NG 2: PT, HPT TRÊN S    PH  C   ................................ ................................ ................................ ...........   10  D  NG 3: TÌM T  P H  P ĐI  M, BI  U DI  N S    PH  C   ................................ ................................ ............   15    M BI  U DI  N   ................................ ................................ ................................ ................................ .....   15  T  P H  P ĐI  M BI  U DI  N LÀ      ................................ ................................ ...............   16  T  P H  P ĐI  M BI  U DI  N LÀ ĐƯ  NG TRÒN ................................ ................................ ..................   18  T  P H  P ĐI  M BI  U DI  N LÀ HÌNH TRÒN   ................................ ................................ ......................   23  T  P H  P ĐI  M BI  U DI  N LÀ ĐƯ  NG CÔNIC   ................................ ................................ ................   24  T  P H  P ĐI  M BI  U DI  N LÀ ĐƯ  NG CONG   ................................ ................................ .................   25  T  P H  P ĐI  M BI  U DI  N LIÊN QUAN ĐA GIÁC ................................ ................................ ............   27  D  NG 4: S    PH  C CÓ MOĐUN NH    NH  T, L  N NH  T   ................................ ................................ ........   29  MOĐUN MIN, MAX C  A S    PH  C CÓ T  P H  P BI  U DI  N LÀ ĐƯ  NG ĐƯ  NG TH  NG .........   29  MOĐUN MIN, MAX C      ...   31  MOĐUN MIN, MAX C   ................................ .............   34  D  NG 5: MIN, MAX S    PH  C PP Đ  I S   ................................ ................................ ................................ ...   35    NG CÁC TÍNH CH  T BĐT, ĐÁNH GIÁ ................................ ................................ .........................   35    NG CÁC BĐT BUNHIACOPXKI   ................................ ................................ ................................ .....   38    NG PHƯƠNG PHÁP HÀM S   ................................ ................................ ................................ .........   39  D  NG 6: MIN, MAX S    PH  C PP HÌNH H  C   ................................ ................................ ............................   41

Trắc nghiệm VD – VDC số phức – Đặng Việt Đông

BÀI 3. PH  NG TRÌNH B  C HAI V  I H    S    TH  C A. LÍ THUY  T 1. C  n b  c hai c  a m  t ph  c   nh ngh  a  Cho s    ph  c   w . M  i s    ph  c   z   th  a mãn   2    z   w    c g  i là m  t c  n b  c hai c  a   w  Tìm c  n b  c hai c  a s    ph  c   w     w   là s    th  c. +   N  u   0  w   thì   w   có hai c  n b  c hai là    i   w   và      i   w  +   N  u   0  w   thì   w   có hai c  n b  c hai là   w   và      w         w   a   bi       ,       a b   ,   0  b  N  u       z   x   iy   là c  n b  c hai c  a   w   thì       2         x   iy   a   bi  Do        ph  ng trình: 2   2 2x               x   y   a y   b  M  i nghi  m c  a h    ph  ng trình cho ta m  t c  n b  c hai c  a   w  2. Gi  i ph  ng trình b  c hai v  i h    s    th  c  Xét ph  ng trình   2   0        az   bz   c       , , c   ;   0      a b   a  Ta có   2   4     b   ac     N  u   0    thì ph  ng trình có nghi  m th  c   2     b x   a     N  u   0    thì ph  ng trình có hai nghi  m th  c phân bi  t: 1   2            b x   a   ;   2   2            b x   a     N  u   0    thì ph  ng trình có hai nghi  m th  c phân bi  t: 1   2            b   i x   a   ;   2   2            b   i x   a  H    th  c Vi-ét    i v  i ph  ng trình b  c hai v  i h    s    th  c  Ph  ng trình b  c hai   2   0        ax   bx   c       0  a   có hai nghi  m  Nh  n xét:  +) S    0 có      t c  n b  c hai là 0 +) M  i s    ph  c khác 0 có hai c  n b  c hai là hai s     i nhau (khác 0)  Chú ý:  M  i ph  ng trình b  c n:  1 0   1   1 ...   0                n   n n   n A z   A z   A   z   A  luôn có n nghi  m ph  c (không nh  t thi  t phân bi  t) v  i n nguyên d  ng.phân bi  t   1 x ,   2 x   (th  c ho  c ph  c) thì 1   2 1   2                         b S   x   x   a c P   x x   a  B. PHÂN LO  I VÀ PH  NG PHÁP GI  I BÀI T  P D  ng 1: Gi  i ph  ng trình. Tính toán bi  u th  c nghi  m 1. Ph  ng pháp gi  i  Cho ph  ng trình: 2   0        az   bz   c       , , c   ;   0      a b   a     Gi  i p  ng trình b  c hai v  i h    s    th  c       ng các phép toán trên t  p s    ph  c     bi  n    i bi  u th  c  Ví d  :   Xét ph  ng trình   2   2   5   0        z   z  a) Gi  i ph  ng trình trên t  p s    ph  c b) Tính   1   2  z   z  H  ng d  n gi  i  a) Ta có:       2 '   1   5   4   2             i  Ph  ng trình có hai nghi  m là: 1   2   2     z   i   ;   2   2   2     z   i  b) Ta có   2   2 1   2   2   2   2   2           z   z  Suy ra   1   2   2   2   2   2   4   2           z   z  2. Bài t   Bài t  p 1.   Trong các s    sau, s    nào là nghi  m c  a ph  ng trình   2   1     z   z           z   ?  A.   1   3 2     i   B.   1   3 2     C.   1   3 2     D.   1   2 2     i  H  ng d  n gi  i  Ch  n A  Ta có   2   1     z   z           z  2   2 2   1   1   3   1   3 2. . 2   4   4   2   4                                  i z   z   z  1   3   1   3 2   2   2 1   3   1   3 2   2   2                                                    i   i z   z i   i z   z  Bài t  p 2.   Ph  ng trình   2   0        z   az   b       ,       a b   có nghi  m ph  c là   3   4    i   . Giá tr    c  a    a   b   b  ng  A.   31   B.   5   C.   19   D.   29  H  ng d  n gi  i  Ch  n C   Chú ý:   N  u   0 z   là

Các dạng bài tập VDC phương trình bậc hai trên tập số phức

CASIO LUYỆN THI THPT QUỐC GIA   (  )   Môn: TOÁN HỌC  Chuyên đề: Số phức   Họ và tên :   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  Facebook :   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  Bài 1.   Cho số phức   z   thỏa mãn   | z |   = 3 . Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn của số phức   w   =   z + 1  z  thuộc một đường ellipse. Tìm tâm sai   e   của ellipse đó.  A.   e   =   3 25   43   B.   e   = 22 25   41   C.   e   =   3 25   41   D.   e   = 22 25   43  Bài 2.   Một acgumen của số phức   z   6   = 0   là      thì một acgumen của   z  1 +   i   là  A.            4   B.      +     2   C.            D.       +     4  Bài 3.   Tính   z   =   1 2      5 i  A.   z   =   2 29      5 29 i   B.   z   =   1 29 + 7 29 i   C.   z   =   2 29 + 5 29 i   D.   z   =   1 29      7 29 i  Bài 4.   Cho số phức   z   thỏa mãn   | z      12      5 i |   = 3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của   | z | .  A.   16   B.   12   C.   9   D.   10  Bài 5.   Khi số phức   z   thay đổi tùy ý thì tập hợp các số   2 z   + 2 z   là  A.   Tập hợp các số thực dương   B.   Tập hợp các số thực không âm  C.   Tập hợp các số thực   D.   Tập hợp các số phức không phải số ảo  Bài 6.   Cho số phức   z   thỏa mãn   | z      12      5 i |   = 3 . Tìm giá trị lớn nhất của   | z | .  A.   12   B.   16   C.   10   D.   9  Bài 7.   Tìm tất cả giá trị của   m      2 z 2      (3 + 8 i ) z      m      4 i   = 0   có một nghiệm thực.  A.   m   = 2   B.   m   =    4   C.   m   = 1   D.   m   =    3  Bài 8.   Tìm số phức   z   sao cho   3      z  1 +   i      2 z   = 2      i  A.   z   =      3 13 + 3 13 i   B.   z   =      2 13 + 2 13 i   C.   z   =      3 13 + 2 13 i   D.   z   =      2 13 + 3 13 i  Bài 9.   Kết luận nào sau đây là đúng ?  A.   | z 1   +   z 2 | ≤ | z 1 |   +   | z 2 |   B.   | z 1   +   z 2 |   >   | z 1 |   +   | z 2 |  C.   | z 1   +   z 2 | ≥ | z 1 |   +   | z 2 |   D.   | z 1   +   z 2 |   <   | z 1 |   +   | z 2 |  Bài 10.   Tìm modulus của số phức   z   = (2      i ) (1      3 i ) .  A.   | z |   = 2  7   B.   | z |   = 2  5   C.   | z |   = 4  2   D.   | z |   = 5  2  Bài 11.   Tính Argument của số phức   z   =   (  3 +   i ) 12 .  A.   arg( z ) = 0   B.   arg( z ) = 5 6   C.   arg( z ) = 5   6   D.   arg( z ) =   1 4096  Bùi Thế Việt - Trang 1/11Bài 12.   Tìm điều kiện của số nguyên dương   n      z n   =   ( 1 +    3 i ) n   là số thực.  A.   n   chia hết   3   B.   n   chia cho   3   dư   1   C.   n   chia cho   4   dư   1   D.   n   chia cho   3   dư   2  Bài 13.   Tìm phần ảo của số phức   z   =  (  cos 9   17 +   i   sin 9   17  ) 5  (  cos 2   17      i   sin 2   17  ) 3   .  A.   0   B.    1   C.   2   D.   1  Bài 14.   Cho số phức   z   thỏa mãn   | z |   = 2 . Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn của số phức  w   = 2016 + 2017 i z   thuộc một đường tròn. Tìm bán kính   r   của đường tròn đó.  A.   r   = 1 2   1626509   B.   r   = 1 2   8132545   C.   r   = 3 2   1626509   D.   r   = 3 2   8132545  Bài 15.   Cho các số phức   z   và   w   thỏa mãn   zw   6   = 1   và   | z |   = 1   hoặc   | w |   = 1 . Cho   A   =   z      w  1      zw   . Tính  | A |  A.   | A |   = 1   B.   | A |   = 1 2   C.   | A |   = 3 2   D.   | A |   = 2  Bài 16.   Cho số phức   z   thỏa mãn   2 < ( z )      3 = ( z ) = 6   với   < ( z ) ,   = ( z )   là phần thực, phần ảo của   z . Khi đó giá trị nhỏ nhất của   | z |   là :  A.   5   13   B.   6   13   C.   8   13   D.   7   13  Bài 17.   Cho số phức   u   = 2      5 i   và   v   =    3 + 2 i . Nhận xét nào sau đây là sai ?  A.   u      v   = 5      7 i   B.   3 u      v   = 9 + 9 i   C.   u   +   v   =    1      3 i   D.   2 u      3 v   = 13      16 i  Bài 18.   Cho   iz 3   +   z 2      z   +   i   = 0 . Khi đó giá trị của   | z |   là :  A.    5   B.    2   C.   1   D.   2  Bài 19.   Cho   z 1 , z 2 , z 3   là ba nghiệm phức của phương trình   z 3   + 8 = 0 . Tính   | z 1 |   +   | z 2 |   +   | z 3 | .  A.   3   B.   2 +    3   C.   6   D.   2 + 2  3  Bài 20.   Cho số phức   z   = (1 + 2 i ) (1 +   i )   2      3 i   . Kết luận nào sau đây là đúng khi nói về argument của số phức   z .  A.   arg( z )   >   0   B.   arg( z )   <   0   C.   arg( z )   không xác định  D.   arg( z ) = 0  Bài 21.   Gọi   z 1 , z 2 , z 3 , z 4 , z 5 , z 6   là 6 nghiệm phức của phương trình   z 6   + 8 = 0 . Tính   | z 1 |   +   | z 2 |   +   | z 3 |   +  | z 4 |   +   | z 5 |   +   | z 6 | .  A.   6  2   B.   6  3   C.   3  2   D.   2  3  Bài 22.   Cho số phức   z   = 3 + 2 i . Nhận xét nào sau đây là đúng khi nói tới số phức   w   =   z      1  z      2  A.   Phần ảo của   w   là    2 5   B.   Phần thực của   w   là   3 4  C.   Phần ảo của   w   là   1 4   D.   Phần thực của   w   là    6 5  Bùi Thế Việt - Trang 2/11

4 đề trắc nghiệm chuyên đề số phức – Bùi Thế Việt

Giáo viên: Tr  n Th    Thanh Tuy  n – Phan Huy Chú, Khánh Xuân, Buôn Ma Thu  t  Tìm hi  u, tham kh  o và biên so  n, file words th  y cô có th    ch  nh s  a. Có gì thi  t xót mong th  y cô góp ý TR  C NGHI  M S    PH  C     M  T S    CÁCH GI  I, KI  M TRA K  T QU    B  NG MÁY TÍNH 1.TÌM S    PH  C-   XÁC ĐỊ NH PH  N TH  C, PH  N    O C  A S    PH  C D  ng 1: Không ch  a   z   và   z Ví d    1:   Tìm s    ph  c   (   )   (   )  2   2 z =   1- 2   1   3   2   2 +      + i   i   i   i  A.   i z   1   2 =      B.   i z   1   2 =   +   C.   i z   2   2 =      D.   i z   2   2 = −     +Bước 1:         2 (CMPLX)  +Bước 2:   Nhập   (   )   (   )  2   2 1- 2   1   3   x2   2 +      + i   i   i   i   (x: dấu nhân)  +Bước 3:     Lưu ý:    i v  i 1 s    bài. Như ví dụ   1 trên, ch    i   i (1   3 )2    ta ph  i nh  p d  u   x   :   i   i (1   3 ) x 2    thì máy m  i hi  n k  t qu  , không máy s    báo ERROR  Ví d    2:   Cho s    ph  c   i   i   i z   (2   )(1   )   3 =   +      +   . Tìm Mô  a s    ph  c z A.   10   B.   13   C.   5   D.   11  +Bước 1:         2 (CMPLX)  +Bước 2:   Nhập   i   i   i (2   )(1   )   3 +      +  (bài này không cần ấn dấu x máy vẫn ra kết quả)  +Bước 3:     +Bước 4:   Vì tính Mô    Shift + hyp (Abs)   (phím giá trị tuyệt đối)   + Ans   (k   i 3   2 +     + Bước 5:     D  ng 2 : Có ch  a   z   và   z  Ví dụ   3:   Th     Tìm số phức z thỏa mãn   i   i   i   i 2 (1   ) (2   )z   8   (1   2 )z +      =   +   +   +  A.   i 3   5 +   B.   i 1    C.   i 2   3    D.   i 2   4    +  +Bước 1:         2 (CMPLX)  +Bước 2:   Chuyển về 1 vế, nhập   i   i X   i   i X 2 (1   ) (2   )   8   (1   2 ) +               +   (thay   X z   =   )  +Bước 3:   CALC gán số phức của từng đáp án. Kết quả nào   0 =   thì đó là đáp án đúngGiáo viên: Tr  n Th    Thanh Tuy  n – Phan Huy Chú, Khánh Xuân, Buôn Ma Thu  t     A.   i 3   5 +   .   Kết quả     B.   i 1    .   Kết quả     C.   i 2   3    .   Kết quả   Vậy C là đáp án đúng  Ví d    4:   Xác đị nh s    ph  c z, bi  t   (1   )   5   2 +   +   =   + z   i z   i A.   i z   1 =   +   B.   i z   2 = −   +   C.   i z   2 =   +   D.   i z   2 = −     +Bướ c 1:         2 (CMPLX)  +Bước 2:   Chuyển về 1 vế.   Thay   X z   =   , n hập   (1   )Conjg(   )   5   2 +   +       X   i   X   i   .  Với   X Conjg(   )   là   z   , nhập bằng cách: Shift      2     +Bước 3:   CALC   gán số phức   của từng đáp án. Kết quả nào   0 =   thì        A.   i z   1 =   +  Kết quả   i 2   0            B.   i z   2 = −   +  Kết quả   i 8   4   0            C.   i z   2 =   +  Kết quả   0 =   .   Vậy C là đáp án đúng  Ví d    5:   Tìm ph  n th  c c  a s    ph  c z, bi  t   (1   )   5   2 +   +   =   + z   i z   i A. 1   B.    2   C.   2   D.    z   1  * Nhận xét:   Bài này không thể thế đáp án như các ví dụ trên, vì đáp án chỉ có phần thực  * Giải tự luận :      x   yi   x y   R z   ( ;   ) =   +     (1   )(   )   5   2   5   2 2   5   2 2   5   2   2   1  +   +   +      =   +      +   +      +   +   =   + +   =   =        +   +   =   +           =   =      x   yi   i   x   yi   i   x   yi   x   yi   xi   y   i x   y   x x   y   xi   i   x   y

Một số cách giải và kiểm tra kết quả bài tập số phức bằng máy tính cầm tay Casio – Trần Thanh Tuyền

K   N GUYỄN   M INH   T UẤN   - P OPEYE   N GUYỄN   nhiều những bài toán vận dụng cao của số phức một cách nhanh chóng.  Một số công thức liên can  1.   z   +   z   =   2 R ( z ) ,   z   =   z  2.   z   =   z   khi   z   là số thực 3.   z      z  2 i   =   I ( z )  4.   z      z    =   z      z ,   z . z    =   z . z  ,   z z    =   z z   5.   z . z   = | z | 2 , vậy nếu   | z | =   1   thì   1  z   =   z  Câu 1.   Cho số phức   z   6   =   1   thỏa mãn   z   +   1  z      1   là số thuần ảo. Tìm   | z |   ?  A.   | z | =   1   B.   | z | =   1 2   C.   | z | =   2   D.   | z | =   4  G IẢI . Từ giả thiết ta có   z   +   1  z      1   +   z   +   1  z      1   =   0      z   +   1  z      1   +   z   +   1  z      1   =   0   = ⇐⇒   2 z . z      2   =   0    z | =   1 . Chọn   A .  Câu 2.   Cho số phức   z   thỏa mãn   | z | =   5   và   iz   +   4   là số thuần ảo, tìm số phức nghịch đảo của   z   ?  A.   z  1   =   3 25   +   4 25   i   B.   z  1   =   3 25      4 25   i   C.   z  1   =   4 25      3 25   i   D.   z  1   =   4 25   +   3 25   i  G IẢI . Từ giả thiết ta có   iz   +   4   +   iz   +   4   =   0      iz      iz   +   8   =   0      2 I ( z ) i 2   +   8   =   0      I ( z )   =   4  Như vậy   R ( z )   = ± 3 . Trong các đáp án trên thì có   B   thỏa mãn   z  1   là đúng.  Câu 3.   Cho số phức   z   6   =   1   và   | z | =   1 . Tìm phần thực của số phức   1 1      z   ?  A.   2   B.    2   C.      1 2   D.   1 2  G IẢI . Ta có   2 R  (   1 1      z  )  =   1 1      z   +   1 1      z   =   1 1      z   +   1 1      z   =   2      z      z  1      z      z   +   z . z   =   1 . Vậy   2 R  (   1 1      z  )  =   1      R  (   1 1      z  )  =   1 2   . Chọn đáp án   D Câu 4.   Cho   z   là số phức thực sự và thỏa mãn   1  | z | −   z   có phần thực bằng   4 . Tính   | z |   ?  A.   | z | =   1 4   B.   | z | =   1 8   C.   | z | =   4   D.   | z | =   1 16  G IẢI . Từ giả thiết ta có   1  | z | −   z   +   1  | z | −   z   =   8      1  | z | −   z   +   1  | z | −   z   =   8      2 | z | −   z      z  | z | 2    z | ( z   +   z )   +   z . z   =   8     1  | z | =   8    z | =   1 8   . Chọn   B Câu 5.   Cho hai số phức   z 1 ,   z 2   thỏa mãn   | z 1 | = | z 2 | =   1   và   z 1   z 2   6   =   1 . Tìm phần ảo của số phức   w   =  z 1   +   z 2  1   +   z 1   z 2  ?  A.   Phần ảo bằng 1   B.   Phần ảo bằng -1  C.   Phần ảo bằng 0   D.   Phần ảo lớn hơn 1 N GUYỄN   M INH   T UẤN   - P OPEYE   N GUYỄN   1   Trang 1/6 - Mã đề thi 69G IẢI . Vì   | z 1 | = | z 2 | =   1   nên   1  z 1  =   z 1 ,   1  z 2  =   z 2 . Ta có   z 1   +   z 2  1   +   z 1   z 2  =  1  z 1  +   1  z 2  1   +   1  z 1  . 1  z 2  =   z 1   +   z 2  1   +   z 1 . z 2  =   z 1   +   z 2  1   +   z 1   z 2  . Vậy   w  là số thực, chọn   C .  Câu 6.   Cho ba số phức   a ,   b ,   c   thỏa mãn   a   +   b   +   c   =   0   và   | a | = | b | = | c | =   1 . Đặt   w   =   a 2   +   b 2   +   c 2 . Hỏi khẳng định nào sau đây là đúng ?  A.   w   là số thực không âm   B.   w   =   0  C.   w   là số thuần ảo   D.   w   là số thực dương G IẢI . Ta có   w   =   ( a + b + c ) 2  2( ab + bc + ca )   = − 2 abc  (   1  a   +   1  b   +   1  c  )  = − 2 abc ( a + b + c )   = − 2 abc . a   +   b   +   c   =   0 . Vậy chọn   B .  Câu 7.   Cho   z   là số phức thực sự và thỏa mãn   1   +   z   +   z 2  1      z   +   z 2   là số thực. Tìm modulus của số phức   z   ?  A.   | z | = p 2   B.   | z | = p 3   C.   | z | =   1   D.   | z | =   1  p 2  G IẢI . Ta có   1   +   z   +   z 2  1      z   +   z 2   =   1   +   2   z  1      z   +   z 2   . Để nó là số thực thì   z  1      z   +   z 2      R   hay   1      z   +   z 2  z      R . Tức là  1      z   +   z 2  z   =   1      z   +   z 2  z      1      z   +   z 2  z   =   1      z   +   z 2  z    z | 2 ( z      z )   =   z      z    z | =   1  . Chọn đáp án   C Câu 8.   Cho số phức   z   thỏa mãn   z 6      z 5   +   z 4      z 3   +   z 2      z   +   1   =   0 . Tìm phần thực của số phức   w   =  z ( z 2      z   +   1)  A.   1   B.   0   C.   1 2   D.   2  G IẢI . Từ giả thiết ta có   z 7   +   1  z   +   1   =   0      z 7   = − 1   hay suy ra   | z | =   1 . Ta lại có từ giả thiết   z ( z 2      z   +  1)( z 3      1)   +   1   =   0      w   =   1 1      z 3   . Chú ý rằng   | z 3 | =   1   theo kết quả câu 3 ta có ngay   R ( w )   =   1 2   . Chọn    C .  Câu 9.   Cho số phức   z   thỏa mãn      z   +   1  z        =   2 p 3 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của   | z |   ?  A.   max   | z | =   2   + p 3, min   | z | =   2    3   B.   max   | z | =   1   + p 3, min   | z | =   2    3  C.   max   | z | =   3   + p 3, min   | z | =   4    3   D.   max   | z | =   2   + p 3, min   | z | =   4    3  G IẢI . Ta có      z   +   1  z       2  =   12     (  z   +   1  z  ) (  z   +   1  z  )  =   12    z | 4   +   ( z   +   z ) 2      2 | z | 2   +   1  | z | 2   =   12    z | 4      2 | z | 2   +   1  | z | 2   . Ta có đánh giá này vì tất cả đều là số thực. Vậy   | z | 4  2 | z | 2 + 1      12 | z | 2      7  4 p 3    z | 2      7 + 4 p 3     2    3    z | ≤   2   + p 3 . Chọn đáp án   A Lời kết:   Các bài toán trên đều ở mức vận dụng cao, rất cao. Thông qua kỹ thuật nhỏ trên, tác giả hy vọng các em sẽ vận dụng linh hoạt các công thức biến đổi của số phức để tìm ra lời giải một cách ngắn gọn nhất. Mọi ý kiến đóng góp xin vui lòng inbox vào tài khoản Facebook: Popeye Nguyễn. Xin cảm ơn N GUYỄN   M INH   T UẤN   - P OPEYE   N GUYỄN   2   Trang 2/6 - Mã đề thi 69

Kỹ thuật tạo số phức liên hợp giải nhanh bài toán số phức vận dụng cao – Nguyễn Minh Tuấn

Mô tả tài liệu đang được cập nhật...

Tuyển tập một số bài toán trắc nghiệm số phức trong các đề thi thử – Trần Văn Tài

I) KI  N TH  C N  N T  NG 1. Các khái ni  m th  ng g  p     ҿŶǀҷңŽůăŵҾƚĜҢŝůӇӄŶŐĜӇӄĐŬşŚŝҵƵ   i   ǀăĐsƚşŶŚĐŚҤƚ   2   1 i   = −     ^ҺƉŚӈĐůăŵҾƚďŝҳƵƚŚӈĐĐsĚҢŶŐ   a   bi +   ƚƌŽŶŐĜs   , a b   ůăĐĄĐƐҺƚŚӌĐ͘dƌŽŶŐĜs   a   ĜӇӄĐŐҸŝůă    b   ĜӇӄĐŐҸŝůăƐҺңŽ     ^ҺƉŚӈĐůŝġŶŚӄƉĐӆĂƐҺƉŚӈĐ   z   a   bi =   +   ůăƐҺƉŚӈĐ   z   a   bi =        ^ҺƉŚӈĐŶŐŚҷĐŚĜңŽĐӆĂƐҺƉŚӈĐ   z   a   bi =   +   ůăƐҺƉŚӈĐ   1   1   1  z   z   a   bi     =   =   +     DƀĚƵůĐӆĂƐҺƉŚӈĐ   z   a   bi =   +   ĜӇӄĐŬşŚŝҵƵůă   z   ǀăĐsĜҾůӀŶ   2   2  z   a   b =   +  2. L  nh Caso     ҳdžӊůljƐҺƉŚӈĐƚĂƐӊĚӅŶŐůҵŶŚƚşŶŚƐҺƉŚӈĐDKϮ     >ҵŶŚƚşŶŚDƀĜƵŶĐӆĂƐҺƉŚӈĐůă^,/&d,zW     >ҵŶŚƚşŶŚƐҺƉŚӈĐůŝġŶŚӄƉ   z   ůă^,/&dϮϮ     >ҵŶŚƚşŶŚĐŐƵŵĞŶƚĐӆĂƐҺƉŚӈĐůă^,/&dϮϭ  II) VÍ D    MINH H  A VD1-[    minh h  a THPT Qu  c Gia l  n 1 n  m 2017]  Cho hai s    ph  c   1   1 z   i =   +   và   2   2   3 z   i =      .Tính Mô  un c  a s    ph  c   1   2 z   z +  A .   1   2   13 z   z +   =   B .   1   2   5 z   z +   =   C .   1   2   1 z   z +   =   D .   1   2   5 z   z +   =  GI  I     ĉŶŐŶŚҨƉůҵŶŚƐҺƉŚӈĐ Z       ҳƚşŶŚDƀĜƵŶĐӆĂƐҺƉŚӈĐƚĂŶŚҨƉďŝҳƵƚŚӈĐǀăŽŵĄLJƚşŶŚƌһŝƐӊĚӅŶŐůҵŶŚ^,/&d,zW  ESE   TF0  sҨLJ   1   2   13 z   z +   =      ĄƉƐҺĐŚşŶŚdžĄĐůă   VD2-[Thi th    báo Toán h  c tu  i tr    l  n 3 n  m 2017]  S    ph  c liên h  p v  i s    ph  c   (   )   (   )  2   2 1   3 1   2 z   i   i =   +      +   là :  A .   9   10 i       B .   9   10 i +   C .   9   10 i    D .   9   10 i    +  GI  I     ^ӊĚӅŶŐŵĄLJƚşŶŚĂƐŝŽƚşŶŚ   z  E   GS   E   G     ϮБЌ    Ȃ   GIẢI NHANH BÀI TOÁN SỐ PHỨC  A            2ІϪЁ    Tác gi  : Tr  n Bá H  ng TOANMATH.com9   10 z   i    =        ^ҺƉŚӈĐůŝġŶŚӄƉĐӆĂ   z   a   bi =   +   ůă   z   a   bi =      ͗ sҨLJ   9   10 z   i =   +      ĄƉĄŶ  ůăĐŚşŶŚdžĄĐ  VD3-[Thi th    trung tâm Di  u Hi  n – C  n th    l  n 1 n  m 2017]  Cho s    ph  c   z   a   bi =   +   . S    ph  c   2  z   có ph  n    o là :  A .   2   2  a b   B .   2   2 2 a b   C .   2 ab   D .   ab  GI  I     sŞĜҲďăŝĐŚŽӂĚҢŶŐƚҼŶŐƋƵĄƚŶġŶƚĂƚŝұŶŚăŶŚ͞ĐĄďŝҵƚŚsĂ͟ď     , a b   ;ůӇƵljŶġŶĐŚҸŶĐĄĐŐŝĄƚƌҷůүĜҳƚƌĄŶŚdžңLJƌĂƚƌӇӁŶŐŚӄƉĜҭĐďŝҵƚͿ͘ ŚҸŶ   1.25 a   =   ǀă   2.1 b   =   ƚĂĐs   1.25   2.1 z   i =   +     ^ӊĚӅŶŐŵĄLJƚşŶŚĂƐŝŽƚşŶŚ   2  z  E   G  sҨLJƉŚҥŶңŽůă   21 4     yĞŵĜĄƉƐҺŶăŽĐsŐŝĄƚƌҷůă   21 4   ƚŚŞĜĄƉĄŶĜsĐŚşŶŚdžĄĐ͘dĂĐs͗  V  y   21 2   4  ab   =          C   là chính xác  VD4-[Thi th    báo Toán h  c tu  i tr    l  n 4 n  m 2017]     s    ph  c   (   ) 1 z   a   a   i =   +      (   a   là s    th  c) có   1 z   =   thì :  A .   1 2  a   =   B .   3 2  a   =   C .   0 1  a a  =     =    D .   1 a   = ±  GI  I     ҳdžӊůljďăŝŶăLJƚĂƐӊĚӅŶŐƉŚĠƉƚŚӊ͕ƚƵLJŶŚŝġŶƚĂĐŚҸŶ   a   ƐĂŽĐŚŽŬŚĠŽůĠŽŶŚҤƚĜҳƉŚĠƉƚŚӊƚŞŵ    1 a   =   ƚƌӇӀĐ͕ŶұƵ   1 a   =   ĜƷŶŐƚŚŞĜĄƉĄŶĜƷŶŐĐŚҶĐsƚŚҳůă  ŚŽҭĐ      1 a   =     ǀă  ĜҲƵƐĂŝ͘     sӀŝ   1 a   =   ^ӊĚӅŶŐŵĄLJƚşŶŚĂƐŝŽƚşŶŚ   z     S   E   TF0 Tác gi  : Tr  n Bá H  ng TOANMATH.com

Hướng dẫn sử dụng máy tính cầm tay giải nhanh bài toán số phức – Trần Bá Hưng

CHUYÊN Đ   S   PH  C  BIÊN SO  N  TR  C NGHI  M GI  I TÍCH 12   n tho  i: 0916.563.244  Website: TOANMATH.com  Mail: nhinguyenmath@gmail.com Tài luy  QG năm 2017CHUYÊN ĐỀ   S    PH  C   TR  C NGHI  M TOÁN 12  NGÔ NGUYÊN      0916.563.244   1  M  C L  C  TÓM T  T LÍ THUY  T  ................................................................................................................................................................ 2  CÁC D  NG BÀI T  P  .................................................................................................................................................................... 3  CH       1. CÁC PHÉP TOÁN TRÊN S    PH  C  ................................................................................................................ 3  I. PHƯƠNG PHÁP GIẢ I VÀ BÀI T  NG D  N   ....................................................................................... 3  II. BÀI T  P T    LUY  N   ................................................................................................................................................ 5  1.   Phép toán trên s    ph  c      s    ph  c liên h  p      ngh  o   ............................................................... 5  2.   Tìm ph  n th  c ph  n    o c  a s    ph  c  ........................................................................................................ 15  3.   Tìm module c  a s    ph  c   ................................................................................................................................ 30  4.   Tìm s    ph  c th  a mãn bi  u th  c   ........................................................................................ 41  5.   M  t s    d  ng khác  ................................................................................................................................................ 50  CH       2. CĂN BẬ C HAI C  A S    PH  C  ........................................................................................................................ 52  I. PHƯƠNG PHÁP GIẢ I VÀ BÀI T  NG D  N   ..................................................................................... 52  II. BÀI T  P T    LUY  N   .............................................................................................................................................. 53  CH       3. PHƯƠNG TRÌNH BẬ C HAI TRÊN T  P S    PH  C  ................................................................................ 54  I. PHƯƠNG PHÁP GIẢ I VÀ BÀI T  NG D  N   ..................................................................................... 54  II. BÀI T  P T    LUY  N   .............................................................................................................................................. 56  CH       4. TÌM T  P H  M BI  U DI  N S    PH  C Z  ........................................................................................ 68  I. PHƯƠNG PHÁP GIẢ I VÀ BÀI T  NG D  N   ..................................................................................... 68  II. BÀI T  P T    LUY  N   .............................................................................................................................................. 69  CH       5. BÀI TOÁN GTNN-GTLN TRÊN T  P S    PH  C   ...................................................................................... 87  I. PHƯƠ NG PHÁP GI  I VÀ BÀI T  NG D  N   ..................................................................................... 87  II. BÀI T  P T    LUY  N   .............................................................................................................................................. 89  CH       6. D  NG GIÁC C  A S    PH  C VÀ    NG D  NG  .......................................................................... 91  I. PHƯƠNG PHÁP GIẢ I VÀ BÀI T  NG D  N   ..................................................................................... 91  II. BÀI T  P T    LUY  N   .............................................................................................................................................. 93  CH       7. M  T S    D  NG TOÁN CH  NG MINH V    S    PH  C   ............................................................................ 95  I. PHƯƠNG   PHÁP GI  I VÀ BÀI T  NG D  N   ..................................................................................... 95  II. BÀI T  P T    LUY  N   .............................................................................................................................................. 96

Chuyên đề trắc nghiệm số phức – Ngô Nguyên

Lương Đức Trọng - ĐHSPHN (SĐT:0982715678)  CỰC TRỊ SỐ PHỨC  A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT  1. Bất đẳng thức tam giác:   z 1   +   z 2 | ≤ | z 1 |   +   | z 2 | , dấu "=" khi   z 1   =   kz 2   với   k      0 .   z 1      z 2 | ≤ | z 1 |   +   | z 2 | , dấu "=" khi   z 1   =   kz 2   với   k      0 .   z 1   +   z 2 | ≥ || z 1 | − | z 2 || , dấu "=" khi   z 1   =   kz 2   với   k      0 .   z 1      z 2 | ≥ || z 1 | − | z 2 || , dấu "=" khi   z 1   =   kz 2   với   k      0 . 2. Công thức trung tuyến:   | z 1   +   z 2 | 2   +   | z 1      z 2 | 2   = 2( | z 1 | 2   +   | z 2 | 2 )  3. Tập hợp điểm:   z      ( a   +   bi ) |   =   r : Đường tròn tâm   I ( a ;   b )   bán kính   r .   z      ( a 1   +   b 1 i ) |   =   | z      ( a 2   +   b 2 i ) | : Đường trung trực của   AB   với   A ( a 1 ;   b 1 ) , B ( a 2 ;   b 2 ) .   z      ( a 1   +   b 1 i ) |   +   | z      ( a 2   +   b 2 i ) |   = 2 a :        AB   với   A ( a 1 ;   b 1 ) , B ( a 2 ;   b 2 )   nếu   2 a   =   AB .     Elip   ( E )   nhận   A, B   làm hai tiêu điểm với độ dài trục lớn là   2 a   nếu   2 a > AB .    | z   +   c |   +   | z      c |   = 2 a : Elip   ( E ) :   x 2  a 2   +   y 2  b 2   = 1   với   b   =    a 2      c 2 .  B. CÁC DẠNG BÀI TẬP  Phương pháp đại số  VÍ DỤ 1   ( Sở GD Hưng Yên 2017 ) .   Cho số phức   z   thỏa mãn   | z      1      2 i |   = 4 . Gọi   M, m   lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của   | z   + 2 +   i | . Tính   S   =   M   2   +   m 2 . A.   S   = 34   B.   S   = 82   C.   S   = 68   D.   S   = 36  LỜI GIẢI 1 .   Ta có  4 =   | z   + 2 +   i      (3 + 3 i ) | ≥ || z   + 2 +   i | − | 3 + 3 i ||   =   || z   + 2 +   i | −   3  2 | ⇒  { | z   + 2 +   i | ≤   4 + 3  2 =   M  | z   + 2 +   i | ≥   3  2      4 =   m .  Khi đó   S   =   M   2   +   m 2   = 68 .    VÍ DỤ 2   ( Sở GD Hà Tĩnh 2017 ) .   Trong các số phức   z   thỏa mãn   | z      (2 + 4 i ) |   = 2 , gọi   z 1  và   z 2   là số phức có mô đun lớn nhất và nhỏ nhất. Tổng phần ảo của hai số phức   z 1   và   z 2  bằng A.   8 i   B.   4   C.    8   D.   8  1https://www.facebook.com/luong.d.trong LỜI GIẢI .   Ta có  2    z | − | 2 + 4 i ||   =   || z | −   2  5 | ⇒   2  5      2    z | ≤   2  5 + 2 .  Giá trị lớn nhất   | z |   là   2  5      2   khi   z   =   k (2 + 4 i )   với   ( k      1)  5 = 1      k   = 1 +   1   5 . Do đó  z 1   =  (  1 +   1   5  )  (2 + 4 i ) .  Giá trị nhỏ nhất   | z |   là   2  5      2   khi   z   =   k (2 + 4 i )   với   (1      k )  5 = 1      k   = 1      1   5   . Do đó  z 2   =  (  1      1   5  )  (2 + 4 i ) .  Như vậy, tổng hai phần ảo của   z 1 , z 2   là   4  (  1 +   1   5  )  + 4  (  1      1   5  )  = 8 .    VÍ DỤ 3   ( THPT Chuyên Thái Nguyên 2017 L3 ) .   Cho số phức   z   thỏa mãn   | z 2   + 4 |   = 2 | z | . Kí hiệu   M   = max   | z | , m   = min   | z | . Tìm mô đun của số phức   w   =   M   +   mi . A.   | w |   = 2  3   B.   | w |   =    3   C.   | w |   = 2  5   D.   | w |   =    5  LỜI GIẢI .   Ta có  2 | z | ≥ | z | 2      4    z | 2      2 | z | −   4      0    z | ≤   1 +    5 =   M.  và  2 | z | ≥   4    z | 2    z | 2   + 2 | z | −   4      0    z | ≥ − 1 +    5 =   m.  Vậy   | w |   =    M   2   +   m 2   = 2  3 .    VÍ DỤ 4   ( THPT Yên Lạc-Vĩnh Phúc 2017 ) .   Trong các số phức   z   thỏa mãn   | 2 z   + z |   =   | z    i | , tìm số phức có phần thực không âm sao cho   | z  1 |    A.   z   =   6 4   +   i  2   B.   z   =   i  2   C.   z   =   3 4   +   i  8   D.   z   =   6 8   +   i  8  LỜI GIẢI .   Gọi   z   =   a   +   bi   ( a      0)   thì   z   =   a      bi . Khi đó   9 a 2   +   b 2   =    a 2   + ( b      1) 2      2 b   = 1      8 a 2      b   = 1 2      4 a 2 .  Ta có   | z  1 |   =   1  | z |   lớn nhất khi và chỉ khi   | z |   =    a 2   +   b 2   nhỏ nhất.  | z | 2   =   a 2   +  (   1 2      4 a 2  ) 2  = 16 a 4      3 a 2   + 1 4 =  (  4 a 2      3 8  ) 2  + 7 64      7 64    z | ≥  7 8   .  Do đó số phức   z   cần tìm thỏa mãn        a 2   =   3 32      a   =   6 8  b   = 1 2      4 a 2   = 1 8  . Vậy   z   =   6 8   +   i  8   .    2

Hướng dẫn giải bài toán cực trị số phức – Lương Đức Trọng

LÊ BÁ B  O - NG  C HUY  N LB  THE BEST or NOTHING   u tâm huy  t ch    và th  y   B  o   biên so  n dành t  ng cho t  t c    các em h  c sinh thân  yêu đã và đang follow facebook củ a ch  . Ch    tin r  ng, tài li  u này s    giúp ích cho các em r  t nhi  u! Ch    bi  u l  m     NG  C HUY  N LB  Tác gi          tinh túy Toán 2017 & Công Phá Toán   CÁC   D  NG   BÀI   T  P  S    PH  C    N HÌNH   (facebook.com/huyenvu2405) i ph  i tr  i qua giông t    nhưng không được cúi đầu trướ c giông t  !          i h  t        t mình        i h  n !  facebook.com/huyenvu2405  CÁC D  NG BÀI T  P S    PH  C ĐI  N HÌNH   ng bao gi    b    cu  c Em nhé! Ch    tin   EM   s    làm    c!  __Ng  c Huy  n LB__

Các dạng bài tập số phức điển hình – Lê Bá Bảo, Vũ Ngọc Huyền

TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020 Facebook Nguyễn Vương    https://www.facebook.com/phong.baovuong   Trang 1  A. KHÁI NIỆM SỐ PHỨC & CÁC PHÉP TOÁN TRÊN SỐ PHỨC     Số phức   z   a   bi       có phần thực là   , a   phần ảo là   . b     Số phức liên hợp   z   a   bi       và cần nhớ   2   1. i        Số phức   z   a   bi       có điểm biểu diễn là   ( ; ). M a b  Số phức liên hợp   z   a   bi       có điểm biểu diễn   ( ;   ). N a   b   Hai điểm   M   và   N      . Ox     ;  z   z   ; z   z   z   z              ; z   z   z   z             .   .   ; z z   z z        ;                   z   z z   z  2   2 .       z z   a   b     Hai số phức bằng nhau khi thực bằng thực và ảo bằng ảo.     Mô đun của số phức   z   là:   2   2  z   a   b        .        z z   z z            z z z   z                         z   z   z   z   z   z                          z   z   z   z   z   z     Phép cộng hai số phức   Cho số phức   1   .     z   a   b i   và   2   .     z   c   d i   . Khi đó                        1   2   .   .   . .                          z   z   a   b i   c   d i   a   c   b   d   i      Phép trừ hai số phức                        1   2   .   .   . .                          z   z   a   b i   c   d i   a   c   b   d   i     Phép nhân hai số phức                      1   2 .   .   .   .   . .                    z z   a   b i   c   d i   ac   bd   ad   bc   i  k.z   k.(a   bi)   ka   kbi               Phép chia hai số phức                     1   1   2   1   2 2   2   2   2   2   2   2   2   2 2   2   2   2 .   .   . .   .   . .                                                a   b i   c   d i   ac   bd   bc   ad i z   z z   z z   ac   bd   bc   ad i z   z   z   c   d   c   d   c   d   c   d z  CÂU HỎI CÙNG MỨC ĐỘ ĐỀ MINH HỌA Câu 1.   Môđun của số phức   1   2 i    bằng  A.   5   .   B.   3   .   C.   5   .   D.   3   .  Câu 2.   Số phức liên hợp của số phức   2 z   i       là  A.   2 z   i       .   B.   2 z   i       .   C.   2 z   i       .   D.   2 z   i       .  Câu 3.   Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn số phức   1   2 z   i       là điểm nào dưới đây?  A.       1;2 Q   .   B.       1; 2 P      .   C.       1;   2 N      .   D.       1;   2 M         .  Câu 4.   Số phức liên hợp của số phức   1   2 i    là:  A.   1 2 i    .   B.   1   2 i    .   C.   2   i       .   D.   1   2 i    .  Câu 5.   Số phức liên hợp của số phức   5   3 i    là  A.   5   3 i       .   B.   3   5 i    .   C.   5   3 i       .   D.   5   3 i    .  Câu 6.   Số phức liên hợp của số phức   3   2 z   i       là.  A.   3   2 i    .   B.   3   2 i    .   C.   3   2 i    .   D.   2   3 i       .  Câu 7.      1   2  z   i   ?  SỐ PHỨC Vấn đề 16  x  y  O  b  b   a  ( ; ) M a b  ( ;   ) N a   b   z   a   bi      z   a   bi    NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương      https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ A.   N   .   B.   P   .   C.   M   .   D.   Q   .  Câu 8.   Số phức   5   6 i    có phần thực bằng  A.   5    .   B.   5   C.   6    .   D.   6   .  Câu 9.   Tìm tất cả các số thực   , x y   sao cho          2   1   1   2 x   yi   i   .  A.       2 ,   2 x   y   B.       2 ,   2 x   y   C.       0,   2 x   y   D.       2 ,   2 x   y  Câu 10.   Số phức có phần thực bằng   1   và phần ảo bằng   3   là  A.   1   3 i    .   B.   1   3 i    .   C.   1   3 i    .   D.   1   3 i    .  Câu 11.   Số phức   3   7 i       có phần ảo bằng  A.   3   .   B.   7    .   C.   3    .   D.   7   .  Câu 12.   Số phức nào dưới đây là số thuần ảo.  A.       2   3 z   i   B.      3 z   i   C.       3 z   i   D.    2 z  Câu 13.   Cho số phức            3 1 z   i   i   . Tìm phần thực   a   và phần ảo   b   của   z   .  A.       1,   2 a   b   B.       2,   1 a   b   C.       1,   0 a   b   D.       0,   1 a   b  Câu 14.   Cho số phức       2   3 z   i   . Tìm phần thực   a   của   z   ?  A.      2 a   B.      3 a   C.    2 a   D.    3 a  Câu 15.   Kí hiệu   , a b   lần lượt là phần thực và phần ảo của số phức   3   2   2 i    . Tìm   a   ,   b   .  A.   3;   2 a   b       B.   3;   2   2 a   b       C.   3;   2 a   b       D.   3;   2   2 a   b      Câu 16.   Cho số phức   3   2 z   i       . Tìm phần thực và phần ảo của số phức   z   :  A.   Phần thực bằng   3    và Phần ảo bằng   2 i    B.   Phần thực bằng   3    và Phần ảo bằng   2   C.   Phần thực bằng   3   và Phần ảo bằng   2 i   D.   Phần thực bằng   3   và Phần ảo bằng   2  Câu 17.      M   trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn số phức  A.   2 z   i       B.   1   2 z   i       C.   2 z   i       D.   1   2 z   i      Câu 18.      M   trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn số phức   z   . Tìm phần thực và phần ảo của số phức  z   .  A.   Phần thực là   2    và phần ảo là   i   .   B.   Phần thực là   1   và phần ảo là   2    .  C.   Phần thực là   1   và phần ảo là   2 i    .   D.   Phần thực là   2    và phần ảo là   1   .  O   x  y 2    2 1 2  P  M  N  Q 1    1 

Tổng ôn tập TN THPT 2020 môn Toán: Số phức

Bài 1:   Cho s    ph  c z th  a mãn 1 z      . G  i M và m l  t là giá tr    l  n nh  t và giá tr   nh    nh  t c  a bi  u th  c 2  1   1 P   z   z   z                . Tính giá tr    c  a M.n  A. 13   3 4   B. 39 4   C. 3   3   D. 13 4     Cách 1: Re( ) z  là ph  n th  c c  a s    ph  c z, Im(z) là ph  n    o c  a s    ph  c z, 1   .   1        z   z z      t 1 t   z       , ta có: 0   1   1   1   2   0; 2 z   z   z   t                                            2 2   2 1   1   1   .   2   2Re( )   Re( )   2  t t   z   z   z z   z   z   z   z                                     2   2   2  1   .   1   3 z   z   z   z   z z   z z   z   t                                 Xét hàm s  :    2   3 ,   0; 2 f   t   t   t   t                    . Xét 2 TH:      13 4  Maxf   t      ;    3 Minf   t    13   3 .   4  M n         Cách 2:       cos   sin z   r   x   i   x   a   bi               Do 2 2   2  .   1 1 1  z z   z z r   a   b                           2   2cos   2cos   1 P   x   x             , đặ t     cos   1;1 t   x        2   2   2   1 f   t   t   t                  TH1: 1 1; 2  t                       1   3 1 '   2   0   1   3 2   2   2  maxf   t   f f   t   minf   t   f t                                                 TH1: 1 ;1 2               t      1   7   7   13 '   2   0   8   8   4 2   2  f   t   t   maxf   t   f t                                               13 4  Maxf   t      ;    3 Minf   t    13   3 .   4  M n     ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- H  ng d  n gi  i m  t s    bài t  p s    ph  c m  c      v  n d  ng cao Biên so  n: Ph  m Minh Tu  n - TOANMATH.comBài 2:   Cho s    ph  c z th  a mãn 3   4   5 z   i          . G  i M và m là giá tr    l  n nh  t và giá tr   nh    nh  t c  a bi  u th  c 2   2  2 P   z   z   i             . Tính module s    ph  c w   M   mi       . A. 2   314 w      B. 1258 w      C. 3 137 w      D. 2   309 w        Cách 1:   4   3 4   2   3   2  P   x P   x   y   y                                             2 2   2   2   4   3 3   4   5   3   4   5   3   4   5 2  P   x z   i   x   y   x   f   x                                                                            '   8   3   8   4   11   0   0,2   1,6   0,1   1,7 f   x   x   P   x   x   P   y   P                                       Thay vào     f   x   ta đượ c:            2   2   33 0,2   1,6   3   0,1   1,7   4   5   0   13  P P   P   P                                  Cách 2:                    2   2  3   4   5   3   4   5: z   i   x   y   C                         (   ) : 4   2   3   0 x   y   P                  Tìm P sao cho đườ ng th  ng    và đườ ng tròn     C   có điể m chung     ;   23   10   13   33 d I   R   P   P                           V  y 33 MaxP      ; 13 MinP      33   13   1258 w   i   w            Bài 3:   Cho s    ph  c z th  a mãn 1  z   . Tìm giá tr    l  n nh  t c  a bi  u th  c 1   2   1 P   z   z            . A. max   2   5  P   B. max   2 10  P   C. max   3 5  P   D. max   3   2  P     Gi  i:   Theo BĐT Bunhiacopxki:                 2   2   2 2   2  1   2   1   1   2   1   1   10   1   2   5 P   z   z   z   z   z                                    Bài 4:   Cho s    ph  c z   x   yi         , x y   R    th  a mãn 2   4   2 z   i   z   i             và m   min z    . Tính module s    ph  c     w   m   x   y i          . A. 2   3 w      B. 3   2 w      C. 5 w      D. 2   6 w    ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- H  ng d  n gi  i m  t s    bài t  p s    ph  c m  c      v  n d  ng cao Biên so  n: Ph  m Minh Tu  n - TOANMATH.com

Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao – Phạm Minh Tuấn

PHƯƠNG PHÁP CHUẨ N HÓA TRONG S    PH  C Ví d    Cho s    ph  c 0 z   a   bi          sao cho z không ph  i là s    th  c và 3  1  z w   z        là s   th  c. Tính 2 2  1  z z    .  A. 1 2   1 a      C. 1 3   2 a     B. 2 2 a      D. 1 2   2 a     L  i gi  i: Chu  n hóa:   : Vì w là s    th  c nên ta   ch  n 3  1   1   0,6624   0,5623 1  z w   z   i z                    Suy ra 2   2 2   2  0,6624   0, 5623 1   1   0 2   1   2.0,6624   1 1   1   0,6624   0, 5623  z   i a z   i                         V  y     Ví d    2: Cho hai s   , z w   khác 0 và th  2 z   w   z   w          . G   n lư  ph          z u   w     . Tính 2   2   ? a   b      A. 1 2   C. 1 8  B. 7 2   D. 1 4  L  i gi  i: Chu  n hóa: 1 w      . Theo đề   ta có:                 2   2   2   2 2   2 2   2  1   4 1   2   1   15   1   15   1 8   8   8   8   4 1   1   1   1  x   y   x   y z   z   z   i   u   i   a   b z   x   y                                                                             _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ Ph  ng pháp CHU  N HÓA trong s    ph  c Tác gi  : Ph  m Minh Tu  n - TOANMATH.comVí d    3 :   Cho hai s    ph  c , z w   khác 0 và th  a mãn 5 z   w   z   w          . G  i a, b l  n lư  t là  ph  n th  c và ph  n    o c  a s    ph  c . u   z w    . Tính 2   2   ? a   b      A. 1 50   C. 1 100  B. 1 25   D. 1 10  L  i gi  i: Chu  n hóa : 1 w      . Theo đề   ta có:                 2   2   2   2 2   2 2   2  1   25 1   5   1   3   11   1   3   11   1 50   50   50   50   25 1   1   1   1  x   y   x   y z   z   z   i   u   i   a   b z   x   y                                                                              Ví d    4 : Cho z ,z ,z 1   2   3   là các s    1   2   3   1 z   z   z          và 1   2   3   1 z   z   z          . Bi  th  2   1   2   1   2   1 1   2   3  n   n   n  P   z   z   z                  ,     n        nh     nào sao đây? A. 1   B. 0 C. 1    D. 3  L  i gi  i: Chu  n hóa: 1   2   3  1,   1,   , n   z   z   i z   i             Suy ra đáp áp A  Ví d    Cho z ,z ,z 1   2   3   là các s    ph  c tho    mãn        z   z   z 1   2   3   1   . Kh  ng đ  nh nào sau đây  là đúng?  A.              z   z   z   z z   z z   z z 1   2   3   1   2   2   3   3   1   B.              z   z   z   z z   z z   z z 1   2   3   1   2   2   3   3   1  C.              z   z   z   z z   z z   z z 1   2   3   1   2   2   3   3   1   D.              z   z   z   z z   z z   z z 1   2   3   1   2   2   3   3   1  L  i gi  i: Chu  n hóa: 1   2   3  ,   ,   1 z   i z   i z          suy ra đáp án A _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ Ph  ng pháp CHU  N HÓA trong s    ph  c Tác gi  : Ph  m Minh Tu  n - TOANMATH.com

Phương pháp chuẩn hóa trong số phức – Phạm Minh Tuấn

Mã đê 04_Trang 1  Gv. LÊ VIẾT NHƠN   KỲ THI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA 2017 50 CÂU TỔNG ÔN SỐ PHỨC   Bài thi: TOÁN  ( Đề thi gồm có 7 trang )   Thời gian làm bài.   90   phút, không kể thời gian phát đề.  Họ, tên thí sinh.   ..................................................................  Số báo danh.   ...................................................................... Câu 1:   Tìm   môđun   của   số   phức       1 w   z z       biết   rằng   số   phức   z   thỏa   mãn   biểu   thức:            2 3   2   2   4 i z   i   i                . A.   2 w      .   B.   10 w      .   C.   8 w      .   D.   2 w      .  (TTLT ĐH DIỆU HIỀN_CẦN THƠ). Hướng dẫn giải  Ta có                               2   2   1   5 3   2   2   4   3   2   4   2   3   2   1   5   3   2                                                        i i z   i   i   i z   i   i   i z   i   z   i                 1   5   3   2   1 3   2   3   2                        i   i z   z   i i   i  Khi đó                1   1   1   1   3   10                             w   z z   i   i   i   w  Chọn B. Câu 2:   Cho số phức   2   3 z   i       . Tìm môđun của số phức       1 w   i z   z          . A.   3 w      .   B.   5 w      .   C.   4 w      .   D.   7 w      .  (TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN_HÀ NỘI). Hướng dẫn giải.  Ta có                1   2   3   2   3   3   4   5 w   i   i   i   i   w                            .  Chọn   B.  Câu 3:   Cho số phức       , z   a   bi   a b             thỏa mãn             2   3   5   4   4 i z   i   i                . Tính tổng   P   a   b       .  A.   26 5  P      B.   8 3  P      C.   4 P      D.   2 P     (TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN_HÀ NỘI). Hướng dẫn giải  Ta có                   4   4   3   5 2   3   5   4   4   3   3,   1 2  i   i i z   i   i   z   i   a   b i                                              . Do đó   2 P      .  Chọn D Câu 4:   Gọi   1 z   ,   2 z   là 2 nghiệm của phương trình   2   1   0 z   z          . Tính giá trị   2017   2017 1   2 P   z   z      A.   1 P      .   B.   1 P      .   C.   0 P      .   D.   2 P      .  (TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN_HÀ NỘI). Hướng dẫn giải  Mã đề 04Mã đê 04_Trang 2  Ta có:   2   3   3   2016   2017 1   1   1   1   1   1   1 1   0   1   0   1   1 z   z   z   z   z   z   z                                    Chứng minh tương tự:   2017 2   2 z   z   1   2   1 P   z   z             .  Chọn B. Câu 5:   Xác định số phức liên hợp   z   của số phức   z   biết       1   2   2   3 . 1   2  i   z   i i              A.   7   5 . 2   2  z   i       B.   7   5 . 2   2  z   i       C.   7   5 . 2   2  z   i       D.   7   5 . 2   2  z   i      (TRƯỜNG THPT GIA LỘC II) Hướng dẫn giải             1   2   2   3   1   2   8 1   2  i   z   i   i   z   i i                             6   7   5 . 1   2   2  i z   i i                Vậy   7   5 . 2   2  z   i      Chọn A. Câu 6:   Cho số phức   z   thỏa mãn   1   7 1   2   1   3  i iz   i   i               . Xác định điểm A biểu diễn số phức liên hợp  z   . A.       1;3 A      .   B.       1;   3 A         .   C.       1;   3 A      .   D.       1;3 A   .  (TRƯỜNG THPT GIA LỘC II) Hướng dẫn giải  Ta có  1   7   3 1   2   1   2   ( 2   )   3   1   3   1   3 1   3  i   i iz   i   iz   i   i   iz   i   z   i   z   i i   i                                                             Chọn D  Câu 7:   Gọi   1   2 , z   z   là hai nghiệm của phương trình   2 2   3   2   0 z   z          trên tập số phức.   Tính giá trị biểu thức   2   2 1   1   2   2 P   z   z z   z          . A.   5 2   P   .   B.   5 2   P   .   C.   3   3 4   P   .   D.   3 4   P  (TRƯỜNG THPT GIA LỘC II) Hướng dẫn giải  Ta có       2 2   2 1   1   2   2   1   2   1   2 9   5 1 4   2  P   z   z z   z   z   z   z z                            . Chọn   A. Câu 8:   Gọi   1  z   và   2  z   là hai nghiệm của phương trình   2   2   5   0 z   z          biết       1   2  z   z    có phần ảo là số thực âm. Tìm phần thực của số phức   2   2 1   2 2 w   z   z     . A.   4.    B.   4.   C.   9.   D.   9.   (TRƯỜNG THPT HAI BÀ TRƯNG_HUẾ)

50 câu trắc nghiệm tổng ôn số phức có lời giải chi tiết – Lê Viết Nhơn

Tài liệu dành cho học sinh của Luyện Thi VTC Liên hệ ôn thi tại HN: Gv – Lương Văn Huy – 0969141404 Face: Lương Văn Huy  Sẽ có live stream và video bài giảng hướng dẫn chi tiết cho các em từng dạng số phức khó.  Theo dõi lịch live stream trên Face của thầy để biết thêm  1.   Khái niệm số phức:  2.   Số phức bằng nhau:  ' '  a         2   2  z = a + bi =   a   + b     z   zz   OM           0,   ,   0   0               z   z   z   z     .   ' z   z      '   '  z   z z   z        '   '   ' z   z   z   z   z   z                  2 2   2   2   2   2   2   2   2   2   2  2   (   )   4 z   a   b   abi   a   b   a b   a   b   z                          Chú ý:  5.   Số phức liên hợp:     i   z   a   bi     Cho số phức z = a + b , số phức liên hợp của z là   .   z = a + bi   z = a - bi   z   z    z = z ;   ,  A. ĐỊNH NGHĨA & CÁC PHÉP TOÁN SỐ PHỨC  I. LÝ THUYẾT     Là biểu thức có dạng a + b   i   , trong đó a, b là những số thực và số   i   thoả   i 2   = –1. Kí hiệu là z = a + b   i   với a là phần thực, b là phần ảo,   i   là đơn vị ảo.     Tập hợp các số phức kí hiệu là   C   = {a + b   i   / a, b    R   và   i 2   = –1}. Ta có   R      C   .     Số phức có phần ảo bằng 0 là một số thực: z = a + 0.   i   = a               Số phức có phần thực bằng 0 là một số ảo: z = 0.a + b   i   = b   i   . Đặc biệt   i   = 0 + 1.   i     Số 0 = 0 + 0.   i   vừa là số thực vừa là số ảo.     Cho hai số phức z = a + b   i   và z’ = a’ + b’   i   . Ta có z = z       a b      b    3.   Biểu diễn hình học của số phức:     Mỗi số phức z = a + b   i        Trên mặt phẳng Oxy, mỗi điểm M(a; b) được biểu diễn bởi một số phức và ngược lại.     Mặt phẳng Oxy biểu diễn số phức được gọi là mặt phẳng phức. Gốc tọa độ O biểu diễn số 0, trục hoành Ox biểu diễn số thực, trục tung Oy biểu diễn số      VD: Các điểm A, B, C, D biểu diễn các số phức là:  z A   = 1 + 4 i   ,   z B   = –3 + 0.   i   ,   z C   = 0 –2 i   ,   z D   = 4 –   i  4.   Môđun của số phức:     Số phức z = a + b   i      i       n     bởi điểm M(a; b) trên mặt phẳng Oxy. Độ dài của véctơ   OM  phức z. Kí hiệu     Tính chất  a 2      b 2     z . z   '    Ch  nh s  a b  i TOANMATH.comTài liệu dành cho học sinh của Luyện Thi VTC Liên hệ ôn thi tại HN: Gv – Lương Văn Huy – 0969141404 Face: Lương Văn Huy  Tính chất                                  1   1 2   2  ;   '   ' ;   . '   . ';   z   z z   z   z   z   z   z   z z   z z   z   z           2   2   2  . z z   z   a   b ;     z   là số thực      z   z    ;   z   là số ảo      z   z   n   n  (z )   (z) ;i   i;   i   i        * Chú ý        z   z  z là số thực        z   z  z là số ảo     z   OM          z   z    z     * Môđun số phức z = a + b.i   (a; b   R) C     z   2  z z.  -1 2  1   z z   =   = z   z   2   2  1   a - bi = a + bi   a   + b  0 là   hay  '   '   ' z   a   b i       2  '   '. z   z   z z   z     2   2  a' + b'i   (a' + b'i)(a - bi) = a + bi   a   + b  0 và   thì   hay  9. Lũy thừa của đơn vị ảo: Cho k      N  4k   4k+1   4k+ 2   4k +3  i   = 1; i   = i;   i   = -1;   i   = -i   Một số chú ý  z.z a 2      b 2      Chú ý:     Hai điểm biểu diễn z và   z     6. Cộng, trừ số phức:     Số đối của số phức z = a + b   i   là –z = –a – b   i     Cho   z      a      bi   và   z   '      a   '    b   ' i   . Ta có   z ± z' = (a ± a')+ (b ± b')i     Phép cộng số phức có các tính chất như phép cộng số thực.  7. Phép nhân số phức:     Cho hai số phức   z      a      bi   và   z   '      a   '    b   ' i   . Nhân hai số phức như nhân hai đa thức rồi thay   i 2   =    z.z' = a.a' - b.b' + (a.b' + a'.b)i     k.z = k(a + b   i   ) = ka + kb   i   . Đặc biệt 0.z = 0    z      = (a + b   i   )(a – b   i   ) hay   z.z = a 2   + b 2   =     (a +bi) 2   = a 2    2   + 2abi . (1 +i) 2   = 2i     (a – bi) 2   = a 2    2   -2abi . (1 – i) 2   = -2i     Phép nhân số phức có các tính chất như phép nhân số thực.  8. Phép chia số phức:     Số nghịch đảo của số phức   z      a      bi        Cho hai số phức   z      a      bi    Ch  nh s  a b  i TOANMATH.com

Bài tập trắc nghiệm chuyên đề số phức – Lương Văn Huy

Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn   https://facebook.com/duytuan.qna  Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học   Trang 1  MỤC LỤC A. CÁC PHÉP TOÁN CƠ BẢN TRÊN TẬP SỐ PHỨC  ............................................ 3  I. LÝ THUYẾT ..................................................................................................................................... 3  II. CÁC DẠNG TOÁN VỚI PHÉP TOÁN CƠ BẢN  ..................................................................... 5  III. SỬ DỤNG MÁY TÍNH CASIO 570 VN-PLUS ĐỂ GIẢI   ..................................................... 14  IV. BÀI TẬP RÈN LUYỆN   .............................................................................................................. 22  1. ĐỀ BÀI   .................................................................................................................................... 22  2. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT   ................................................................... 25  B. CĂN BẬC HAI VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC  ................. 28  I. CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC   ................................................................................................. 28  II. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ........................................................................................... 30  1. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI TRÊN TẬP SỐ PHỨC .............................................. 30  2. ĐƯA PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO VỀ NHỮNG PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI.   .................................................................................................. 31  III. SỬ DỤNG MÁY TÍNH CASIO 570VN-PLUS ĐỂ GIẢI   ...................................................... 38  IV. BÀI TẬP RÈN LUYỆN   .............................................................................................................. 44  1. ĐỀ BÀI   .................................................................................................................................... 44  2. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT   ................................................................... 48  C. TẬP HỢP ĐIỂM CỦA SỐ PHỨC   ......................................................................... 53  I. LÝ THUYẾT ................................................................................................................................... 53  II. MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH  ........................................................................................... 54  III. SỬ DỤNG MÁY TÍNH CASIO 570 VN- PLUS  ..................................................................... 61  IV. BÀI TẬP RÈN LUYỆN   .............................................................................................................. 64  1. ĐỀ BÀI   .................................................................................................................................... 64  2. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT   ................................................................... 69  D. BÀI TOÁN CỰC TRỊ CỦA SỐ PHỨC ................................................................. 75  I. PHƯƠNG PHÁP QUY VỀ TÌM MIN-MAX CỦA HÀM MỘT BIẾN KẾT HỢP SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CỦA SỐ PHỨC.   ....................................................................................................... 75  II. PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC GIẢI BÀI TOÁN MIN-MAX ................................................ 84  III. SỬ DỤNG MÁY TÍNH CASIO 570 VN-PLUS ĐỂ GIẢI   ..................................................... 92  V. BÀI TẬP RÈN LUYỆN  ................................................................................................................ 93

Chuyên đề số phức – Bùi Trần Duy Tuấn

Phân dạng số phức   Gv: Nguyễn Hữu Nhanh Tiến   THPTQG 2018  1   KHÁI NIỆM SỐ PHỨC  1.1   Xác định các yếu tố cơ bản của số phức.  Câu 1 (Lần 1, Đức Thọ, Hà Tĩnh 2018).   Tìm phần ảo của số phức   z   = 8      12 i . A    12 .   B   18 .   C   12 .   D    12 i .  Câu 2 (Lần 2 - 2018, Phan Chu Trinh, Đắk Lắc).   Phần ảo của số phức   z   = 2      3 i   là A    3 i .   B   3 .   C    3 .   D   3 i .  Câu 3 (Lần 2 - 2018, Phan Chu Trinh, Đắk Lắc).   Cho hai số phức   z 1   =    1 + 2 i, z 2   =    1      2 i . Giá trị của biểu thức   | z 1 | 2   +   | z 2 | 2   bằng A    10 .   B   10 .   C    6 .   D   4 .  Câu 4 (Lần 2 - Minh Châu - Hưng Yên - 2018).   Số phức liên hợp của   z   = 2016 + 2017 i   là số phức nào? A    2016      2017 i .   B    2016 + 2017 i .   C   2017      2016 i .   D   2016      2017 i .  Câu 5 (Lần 1, Hoàng Văn Thụ, Hòa Bình, 2018).   Tìm phần ảo của số phức   z   = 5      8 i . A   8 .   B    8 i .   C   5 .   D    8 .  Câu 6 (TTLTĐH Diệu Hiền, Cần Thơ).   Phần thực và phần ảo của số phức   z   = 1 + 2 i   lần lượt là A   2   và   1 .   B   1   và   2 i .   C   1   và   2 .   D   1   và   i .  Câu 7 (Đại học Ngoại Thương, 2017 - 2018).   Cho số phức   z   = 2      3 i . Số phức liên hợp của   z   là A   z   =    2      3 i .   B   z   =    2 + 3 i .   C   z   = 2 + 3 i .   D   z   = 2      3 i .  Câu 8 (Hương Khê-Hà Tĩnh - 2018-L1).   Tìm phần thực và phần ảo của số phức   z   = 1       . A Phần thực là   1   và phần ảo là     .   B Phần thực là   1   và phần ảo là    . C Phần thực là   1   và phần ảo là     .   D Phần thực là    1   và phần ảo là     .  Câu 9 (Lần 1, Hoàng Văn Thụ, Hòa Bình, 2018).   Cho số phức   z   thỏa mãn   z      3 +   i   = 0 . Môđun của   z   bằng bao nhiêu? A    10 .   B   10 .   C    3 .   D   4 .  Câu 10 (Lần 1, Hoàng Văn Thụ, Hòa Bình, 2018).   Trong tập số phức, khẳng định nào sau đây là  A   z 1   +   z 2   =   z 1   +   z 2 .   B   z   +   z   là số thuần ảo. C   | z 1   +   z 2 |   =   | z 1 |   +   | z 2 | .   D   z 2      ( z ) 2   = 4 ab   với   z   =   a   +   bi .  Câu 11 (Lần 1, Tĩnh Gia 3, Thanh Hoá 2018).   Tìm   m      z   = 2 m   + ( m      1) i   là số thuần  A   m   =    1 .   B   m   =    1 2 .   C   m   = 0 .   D   m   = 1 .  Câu 12 (Lần 2 - Minh Châu - Hưng Yên - 2018).   Tìm số thực   x ,   y   thỏa mãn   (1  2 i ) x +(1+2 y ) i   = 1 +   i .  https://www.facebook.com/NhanhTien0694   1Phân dạng số phức   Gv: Nguyễn Hữu Nhanh Tiến   THPTQG 2018 A   x   = 1 ,   y   = 1 .   B   x   =    1 ,   y   = 1 .   C   x   =    1 ,   y   =    1 .   D   x   = 1 ,   y   =    1 .  Câu 13 (Chuyên Lê Khiết Quảng Ngãi, lần 1, đề 2, 2018).   Cho số phức   z   thỏa mãn   | z |   =    5   và số phức   w   = (1 +   i ) z . Tìm   | w | . A   2  5 .   B   5 .   C    10 .   D    2 +    5 .  Câu 14 (Đông Thụy Anh, Thái Bình, 2017-2018).   Cho số phức   z   = 5      4 i . Môđun của số phức   z  bằng A   3 .   B   9 .   C    41 .   D   1 .  1.2   Biểu diễn hình học của số phức cơ bản  Câu 15 (Lần 2, Kinh Môn, Hải Dương 2018).   Cho số phức   z   = 2018      2017 i . Điểm   M   biểu diễn của số phức liên hợp của   z   là A   M   (  2018; 2017) .   B   M   (2018;    2017) .   C   M   (  2018;    2017) .   D   M   (2018; 2017) .  Câu 16 (Lần 2 - Minh Châu - Hưng Yên - 2018).     M   trong hình bên là biểu diễn của số phức   z . Tìm phần thực và phần ảo của số phức   z . A Phần thực là   2   và phần ảo là    3 i . B Phần thực là    3   và phần ảo là   2 . C Phần thực là    3   và phần ảo là   2 i . D Phần thực là   2   và phần ảo là    3 .  O  2  x   3  y  M  Câu 17 (Hương Khê-Hà Tĩnh - 2018-L1).   Cho số phức   z   =    3 + 4 i . Gọi   M   là điểm biểu diễn số phức   z . Tung độ của điểm   M   là A   6 .   B   4 .   C    4 .   D    6 .  Câu 18 (LTĐH Diệu Hiền, Cần Thơ).      z   = 7 +   bi   với   b      R   nằm trên  A   y   = 7 .   B   x   = 7 .   C   y   =   x   + 7 .   D   y   =   x .  Câu 19.   Cho 4 điểm   M, N, P, Q   là các điểm trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số    i,   2 +  i,   5 ,   1 + 4 i . Hỏi điểm nào là trọng tâm của tam giác tạo bởi ba điểm còn lại? A   M   .   B   N   .   C   P   .   D   Q .  Câu 20 (Hậu Lộc 2, Thanh Hóa Lần 1-2018).   Tập hợp tất cả các điểm biểu diễn cho số phức   z  trong mặt phẳng phức thỏa mãn điều kiện   | z      i |   =   | z   +   i |   là A một đường thẳng.   B một đường tròn.   C một đường elip.   D một đoạn thẳng.  Câu 21 (Lần 1 chuyên KHTN - 2018). https://www.facebook.com/NhanhTien0694   2

Bài tập trắc nghiệm số phức có đáp án – Nguyễn Hữu Nhanh Tiến

SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO QUẢNG BÌNH TRƯỜNG THPT CHUYÊN VÕ NGUYÊN GIÁP CHUYÊN ĐỀ GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ SỐ PHỨC BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC GIẢI TÍCH Giáo viên: Nguyễn Hữu Tình Tổ: Toán Năm học: 2017 - 2018Trang 1  MỞ ĐẦU  Trong chương trình Toán THPT, phần Đại số mà cụ thể là phần Số học, ở chương trình lớp 12, học sinh được hoàn thiện hiểu biết của mình về các tập hợp số thông qua việc cung cấp một tập hợp số, gọi là Số phức. Trong chương này, học sinh đã bước đầu làm quen với các phép toán cộng, trừ, nhân, chia, khai căn, lũy thừa; lấy mô đun, ...các số phức. Bằng cách đặt tương ứng mỗi số phức   2 ,( ;   ,   1) z   x   yi   x y   i              với mỗi    ( ;   ) M x y   trên mặt phẳng tọa độ   Oxy   , ta thấy giữa Đại số và Hình học có mối liên hệ với nhau khá “gần gũi”. Hơn nữa, nhiều bài toán Đại số bên Số phức, khi chuyển sang Hình học, từ những con số khá trừu tượng, bài toán đã được minh họa một cách rất trực quan, sinh động và cũng giải được bằng Hình học với phương pháp rất đẹp. Đặc biệt, trong các kỳ thi Đại học, Cao đẳng và THPT Quốc gia những năm gần đây, việc sử dụng phương pháp Hình học để giải quyết các bài toán về Số phức là một trong những phương pháp khá hay và hiệu quả, đặc biệt là các bài toán về Cực trị trong số phức. Hơn nữa, với những bài toán Hình học theo phương pháp trắc nghiệm, nếu khi biểu diễn  Tuy nhiên, trong thực tế giảng dạy, việc chuyển từ bài toán Đại số nói chung và Số phức nói riêng sang bài toán Hình học ở nhiều học sinh nói chung còn khá nhiều lúng túng, vì vậy việc giải các bài toán về Số phức gây ra khá nhiều khó khăn cho học sinh. Bài toán Cực trị Số phức thông thường thì có khá nhiều cách lựa chọn để giải như dùng Bất đẳng thức, dùng Khảo sát hàm số, ... Qua chuyên đề này, tôi muốn gợi ý cho học sinh một lối tư duy vận dụng linh hoạt các phương pháp chuyển đổi từ bài toán Đại số sang Hình học cho học sinh, giúp các em có cái nhìn cụ thể hơn về việc chuyển đổi  này, tôi chỉ tập trung giải quyết bài toán theo hướng Hình học. Không đặt nặng việc so sánh phương pháp nào nhanh hơn, tối ưu hơn phương pháp nào.

Giải bài toán cực trị số phức bằng phương pháp hình học giải tích – Nguyễn Hữu Tình

4.   SOÁ PHÖÙC  TỔNG HỢP KIẾN THỨC 1. Khái niệm số phức     Tập hợp số phức:      .     Số phức (dạng đại số):   z   a   bi =   +   . Trong đó     , a   b         ;   a   là phần thực,   b   là phần ảo.     i   là đơn vị ảo,   2   1. i   = −     z   là số thực      phần ảo của   z   bằng   0   (   ) 0 b   =   .     z   là số ảo (hay còn gọi là thuần ảo)      phần thực bằng   0   (   ) 0 a   =   . Số   0   vừa là số thực vừa là số ảo.  2. Hai số phức bằng nhau  Hai số phức   (   ) 1   ; z   a   bi   a   b =   +         và   (   ) 2   ; z   c   di   c   d =   +           .  a   c  b   d     =       =    Khi đó ta viết   1   2   . z   z =  3. Biểu diễn hình học số phức  Số phức   (   ) ; z   a   bi   a   b =   +            (   ) ; M   a b   hay bởi   (   ) ; u   a b =    trong mặt tọa độ.  x y O    (   ) ; M a b  4. Phép cộng và phép trừ số phức  Cho hai số phức   (   ) 1   ; z   a   bi   a   b =   +         và   (   ) 2   ; z   c   di   c   d =   +         . Khi đó     (   )   (   ) 1   2 z   z   a   c   b   d i +   =   +   +   +   .     (   )   (   ) 1   2 z   z   a   c   b   d i    =      +      .     Số đối của số phức   z   a   bi =   +   là   z   a   bi    = − −   .  5. Phép nhân số phức  Cho hai số phức   (   ) 1   ; z   a   bi   a   b =   +         và   (   ) 2   ; z   c   di   c   d =   +         . Khi đó  (   ) (   )   (   )   (   ) 1   2    z z   a   bi   c   di   ac   bd   ad   bc i =   +   +   =   +   +   . Nhận xét. Với mọi số thực   k   và mọi số phức   (   ) ; z   a   bi   a   b =   +         , ta có  (   ) .   .   . k z   k   a   bi   ka   kbi =   +   =   +    0.   0 z   =   với mọi số phức   z   . CHUÛ ÑEÀ6. Số phức liên hợp  Số phức liên hợp của   (   ) ; z   a   bi   a   b =   +         là   z   a   bi =      . Một số tính chất:     2   2 1   1 2   2  ;   '   ' ;   . '   . ';   ;   .   .  z   z  z   z   z   z   z   z   z z   z z   z z   a   b  z   z        =      =      =   =   =   +                   z   là số thực   z   z    =   ;   z   là số ảo   z   z = −   .  7. Môđun của số phức  Môđun của số phức   (   ) ; z   a   bi   a   b =   +         là số thực không âm   2   2  a   b +   và được kí hiệu là  2   2  z   a   b =   +   . Một số tính chất:     2   2  z   a   b   zz   OM =   +   =   =      hay   2  . . z   z z =     0,   ; z   z             0   0 z   z =      =   .     . '   .   ' z z   z   z =   .     '   '  z   z  z   z  =   .     '   '   ' z   z   z   z   z   z             +   .  8. Chia hai số phức  Số phức nghịch đảo của   z   khác   0   là số   1 2  1  z   z  z     =   . Phép chia hai số phức   ' z   và   0 z      là   1 2  '   '.   '.  '   .  z   z   z   z   z  z z  z   z z z    =   =   =   .  9. Lũy thừa đơn vị ảo   i  0   1   2   3   2  1,   ,   1,   . i   i   i   i   i   i   i   i =   =   = −   =   = −   ,..., bằng quy nạp ta được:  4   4   1   4   2   4   3  1,   ,   1,   , n   n   n   n  i   i   i   i   i   i   n +   +   +     =   =   = −   = −            . Do đó:   {   }   *  1;1;   ;   ,   . n  i   i i   n               10. Phương trình bậc hai với hệ số thực a.   Căn bậc hai của số thực âm  Tương tự căn bậc hai của một số thực dương, từ đẳng thức   2   1 i   = −   , ta nói   i   là một căn bậc hai của   1    ;   i    cũng là một căn bậc hai của   1    , vì   (   ) 2  1 i    = −   . Từ đó, ta xác  Căn bậc hai của   2    là   2 i    , vì   (   ) 2  2   2 i    = −   . Căn bậc hai của   3    là   3 i    , vì   (   ) 2  3   3 i    = −   . Căn bậc hai của   4    là   2 i    , vì   (   ) 2  2   4 i    = −   . Tổng quát, các căn bậc hai của số thực   a      i   a    .  b. Phương trình bậc hai với hệ số thực  Cho phương trình bậc hai   2   0 ax   bx   c +   +   =   với   ,   , a   b   c         và   0 a      .

Câu hỏi và bài tập trắc nghiệm chuyên đề số phức – Nguyễn Phú Khánh, Huỳnh Đức Khánh

Giáo viên: Th.S Đ    ng THPT Nho Quan A   Ph    S    -   Gi   Email:   dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com   ** ĐT: 0978064165   Trang   1  Facebook: https://www.facebook.com/dongpayGiáo viên: Th.S Đ    ng THPT Nho Quan A   Ph    S    -   Gi   Email:   dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com   ** ĐT: 0978064165   Trang   2  Facebook: https://www.facebook.com/dongpay  A      LÝ THUY   1. Khái ni      T    C     S    z   a   bi      (a, b   R    , a là ph      2   =    1)     z là   s       ph   z là thu       ph   S          Hai s    a   a '  a   bi   a’   b’i   (a, b, a ', b '   R)  b   b '                        2. Bi    : S    R)       u   (a; b)      trong mp(Oxy) (mp ph   3. C    :                           a   bi   a’   b’i   a   a’   b   b’ i                                               a   bi   a’   b’i   a   a’   b   b’ i                        S      z =    a      bi     u     bi    u '     bi     u   u '         bi     u   u '         bi       z’.  4. Nhân hai s    :                         a   bi   a '   b 'i   aa’ – bb’   ab’   ba’ i                  k(a   bi)   ka   kbi (k   R)            5. S      c     z   a   bi         1   1  2   2  z   z  z   z ;   z   z '   z   z ' ;   z.z '   z.z ';   z   z                                 ;   2   2  z.z   a   b         z là s       z   z    ;   z là s       z   z   6. Môđun c    : z = a + bi     2   2  z   a   b   zz   OM                   z   0,   z   C ,   z   0   z   0                  z.z '   z . z '       z   z  z '   z '        z   z '   z   z '   z   z '               7. Chia hai s  :     1  2  1  z   z  z        (z      0)      1  2  z '   z '.z   z '.z  z 'z  z   z.z z                z '   w   z '   wz  z           8. Căn b  :     z   x   yi       là căn b    w   a   bi          2  z   w      2   2  x   y   a  2xy   b                   w = 0 có đúng 1 căn b       w   0    có đúng hai căn b      Hai căn b     a      Hai căn b      a.i      9. Phương tr   2   + Bz + C = 0   (*) (A, B, C là các s      0    ).

Bài tập trắc nghiệm chuyên đề số phức – Đặng Việt Đông

LỚP TOÁN THẦY DŨNG  TỔNG ÔN SỐ PHỨC      Môn: Toán   Mã đề thi: 089  Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian phát đề  Họ và tên:   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Số báo danh: Câu 1. (Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương lần 1)   Gọi   z 1 , z 2   là hai nghiệm của phương trình   2 z 2     3 z   + 7 = 0 . Tính giá trị của biểu thức   z 1   +   z 2      z 1 z 2 ?  A    2   B   2   C    5   D   5  Câu 2. (Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương lần 2)   Gọi   z 1 , z 2   là hai nghiệm của phương trình   z 2    z   +2 = 0 . Tìm phần thực của số phức   w   = [( i      z 1 )( i      z 2 )] 2017 ?  A    2 1008   B   2 1008   C    2 2016   D   2 2016  Câu 3. (Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương lần 2)   Cho số phức   z   thỏa mãn   | z      2      2 i |   = 1 . Số phức  z      i   có module nhỏ nhất là?  A    1 +    5   B   1 +    5   C    2 +    5   D   2 +    5  Câu 4. (Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương lần 2)   Cho số phức   z   thỏa mãn   (3  2 i ) z  4(1  i ) = (2+ i ) z . Module của   z   là?  A    10   B   3 4   C    3   D    5  Câu 5. (Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương lần 2)   Cho số phức   z   thỏa mãn   (1 +   z ) 2   là số thực. Tập hợp   M      z   là?  A      B      C   Parabol   D   Hai đường thẳng  Câu 6. (Sở GDĐT Bình Phước)   Giả sử   ( H )   là tập hợp các điểm biểu diễn số phức   z   thỏa mãn điều kiện   | z      i |   =   | (1 +   i ) z | . Diện tích của hình phẳng   ( H )   là?  A      B   4    C   2    D   3   Câu 7. (Sở GDĐT Bình Phước)   Gọi   M   là điểm biểu diễn của số phức   z   = 3      4 i   và   M      là điểm biểu diễn của số phức   z    = 1 +   i  2   z   trong mặt phẳng tọa độ   Oxy . Tính diện tích tam giác   OM M    .  A   S   = 25 4   B   S   = 25 2   C   S   = 15 4   D   S   = 15 2  Câu 8. (Toán học Tuổi trẻ lần 5)   Trên tập số phức phương trình   z 3   = 1   có bao nhiêu nghiệm?  A   0   B   1   C   2   D   3  Câu 9. (Toán học Tuổi trẻ lần 5)   Cho số phức   z   thỏa mãn   | z      4 |   +   | z   + 4 |   = 10 . Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của   | z |   là?  A   14   B   9   C   7   D   8  Câu 10.   Biết rằng   | z 1   +   z 2 |   = 3   và   | z 1 |   = 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của   | z 2 | ?  Trang 1/6 -   Mã đề thi: 089A   1   B   1 2   C   3 2   D   2  Câu 11. (Chuyên Sư Phạm 3)   Cho số phức   z   thỏa mãn   | z |   +   z   = 0 . Mệnh đề nào    ?  A   z   là số thực nhỏ hơn hoặc bằng 0   B   | z |   = 1  C   Phần thực của   z   là số âm   D   z   là số thuần ảo  Câu 12. (Chuyên Sư Phạm 3)   Cho hai số phức   z 1 , z 2   thỏa   | z 1 |   =   | z 2 |   = 1 . Tính   | z 1   +   z 2 | 2   +   | z 1      z 2 | 2 ?  A   0   B   1   C   2   D   4  Câu 13. (Trần Hưng Đạo Ninh Bình)   Gọi   z 1 , z 2   là hai nghiệm phức của phương trình   z 2      z   + 1 = 0 . Tính module của   z   =   z 2 1   +   z 2 2   + 4      3 i ?  A   6   B   3  2   C   2  3   D   18  Câu 14. (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định)   Biết rằng   | z      1 |   = 2   và tập hợp các điểm biểu diễn số phức   w   = (1 +   i  3) z   + 2   là một đường tròn. Xác định bán kính của đường tròn đó.  A   r   = 4   B   r   = 9   C   r   = 16   D   r   = 25  Câu 15. (Chuyên Phan Bội Châu 2)   Cho số phức   z   thỏa mãn   | z      2      3 i |   = 1 . Tìm giá trị lớn nhất của   | z   + 1 +   i | ?  A   2 +    13   B   4   C   6   D   1 +    13  Câu 16. (Chuyên Phan Bội Châu 2)   Có bao nhiêu số phức   z   thỏa mãn   | z      i |   =    2   và   z 2   là số thuần   A   1   B   2   C   3   D   4  Câu 17. (Chuyên KHTN lần 4)   Gọi   z 1 , z 2   là hai nghiệm của phương trình   z 2   +   z   + 1 = 0 . Tính giá trị của biểu thức   z 2017 1   +   z 2017 2   ?  A    1   B   0   C   1   D   2  Câu 18. (Chuyên Lam Sơn Thanh Hóa)   Biết tập hợp điểm biểu diễn số phức   z   thỏa mãn   | z   + 1 |   =  | z      2 i   + 3 |   là đường thẳng   d   :   x   +   ay   +   b   = 0 . Tính giá trị của biểu thức   a   +   b ?  A    1   B   0   C   1   D   2  Câu 19. (Sở GDĐT Bắc Ninh)   Cho số phức   z   thỏa mãn   (3      4 i )   z      4  | z |   = 8 . Trên mặt phẳng tọa độ, khoảng cách từ gốc tọa độ đến điểm biểu diễn số phức   z   thuộc tập hợp nào sau đây?  A  (   1 4 ; 5 4  )  B (   9 4; +   )  C (  0; 1 4  )  D (   1 2; 9 4  )  Câu 20. (Sở Bắc Ninh)   Cho số phức   z   thỏa mãn   | z |   = 1 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức   P   =  | 1 +   z |   + 2 | z      1 |   là?  A   1   B   2   C   3 4   D   3  2  Trang 2/6 -   Mã đề thi: 089

Bài tập trắc nghiệm tổng ôn số phức – Đoàn Trí Dũng

Bài t  p tr  c nghi  m s    ph  c  Trang 2  M  C L  C  PHẦN   1 . TÓM TẮT LÝ THUYẾT  PHẦN   2.   SỐ PHỨC VÀ   CÁC   PHÉP TOÁN   ( 453   CÂU ) A –   BÀI TẬ P ( 260   CÂU ) B –   HƯỚNG DẪN GIẢI  C –   BÀI TẬ P T    LUYỆN (   193   CÂU ) PH    3.   PHƯƠNG TRÌNH VÀ CÁC BÀI TẬ P   TÌM SỐ   PH  C TH  A MÃ N ĐIỀU KIỆN   (256   CÂU ) A –   BÀI TẬ P (130   CÂU ) B –   HƯỚNG DẪN GIẢI  C –   BÀI TẬ P T    LUYỆN ( 126   CÂU ) PH    4.   BIỂU DIỄN HÌNH HỌ C C  A S    PH  P H  M (227   CÂU ) A –   BÀI TẬ P (138   CÂU ) B –   HƯỚNG DẪN GIẢI  C –   BÀI TẬ P T    LUYỆN ( 89   CÂU )

936 bài tập trắc nghiệm số phức

ST&BS: Th.S Đ      S   File Word   liên h    -   Email:   dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com   Trang   1  Facebook: https://www.facebook.com/dongpayST&BS: Th.S Đ      S   File Word   liên h    -   Email:   dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com   Trang   2  Facebook: https://www.facebook.com/dongpay  Bài 1:   S     CÁC PHÉP TOÁN S   A      LÝ THUY  T CHUNG  1.1. Khái ni  m s    ph  c     S    ph  c ( d  ng đ  i s  ) :   . Trong đó   :   là ph  n th  c,   là ph  n    o,   là đơn  v     o,     T  p h  p s    ph  c kí hi  u:   .     là s    th  c   ph  n    o c  a   b  ng   .     là s     o (hay còn g  i là thu  n    o)   ph  n th  c b  ng   .     S    v  a là s    th  c v  a là s     o.  1.2. Hai s    ph  c b  ng nhau     Hai s    ph  c   và   b  ng nhau khi ph  n th  c và ph  n   o c  a chúng tương đương b  ng nhau.     Khi đó ta vi  t  1.4. S    ph  c liên h  p  S      là   .       là s    th  c   ;   là s     o   .  1.5. Môđun c  a s    ph  c      dài c  a vectơ     c g  i là   môđun c  a s    ph  c   và kí hi  u là   . V  y   hay  .  M      ;     .     ;   ;     .  2. Phép c  ng tr    nhân chia   s    ph  c  2.1. Phép c  ng và phép tr    s    ph  c  Cho hai s    và   . Khi đó:     S      i c  a s    ph  c   là   .      z   a   bi   a b ;   ,             a   b   i  i 2   1.     z      z   0       b   0   z      0       a   0   0      z   a   bi   a   b 1   ,                 z   c   di   c   d 2   ,            a   c  z   z   a   bi   c   di   b   d 1   2                                     z   a   bi   a   b ,             z   a   bi      z   z  z   z   z   z   z   z   z z   z z   z z   a   b  z   z  2   2 1   1  2   2  ;   '   ' ;   . '   . ';   ;   .   .                                           z   z   z       z   z   z   OM     z   z   z   OM      z   a   bi   OM   a   b 2   2                   z   a   b   zz   OM 2   2                z   z   z   z 0,   ;             z   z 0   0         z z   z   z 1   2   1   2  .   .    z z  z   z  1 1  2   2     z   z z  z   z  1   1   2  2  2   2  .   z   z   z   z   z   z 1   2   1   2   1   2                    z   a   bi   a   b 1   ,                 z   c   di   c   d 2   ,                      z   z   a   c   b   d i 1   2                z   a   bi       z   a   bi       

Số phức (dành cho học sinh Yếu – TB) – Đặng Việt Đông

L A TEX   PAGE TOÁN HỌC SƠ CẤP https://www.facebook.com/MATHDDT/  SỐ PHỨC  BÀI   1.   DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC VÀ CÁC PHÉP TOÁN TRÊN SỐ PHỨC  A.   TÓM TẮT LÝ THUYẾT  1.        Mỗi biểu thức dạng   a   +   bi , trong đó   a, b      R ,   i 2   =    1      số phức .    z   =   a   +   bi , ta nói   a   là   phần thực ,   b   là   phần ảo   của   z ,   i   gọi là đơn vị ảo. Tập số phức   C   =   { a   +   bi | a, b      R , i 2   =    1 } . Tập số thực   R      C .  VÍ DỤ 1.   Số phức   z   = 3      2 i   có phần thực là . . . . . . phần ảo là . . . . . .  Lời giải.  Số phức   z   = 3      2 i   có phần thực là   3   phần ảo là    2 .     !    Khi phần ảo   b   = 0      z   =   a      R      z   là số thực. Khi phần thực   a   = 0      z   =   bi      z   là số thuần ảo. Số   0 = 0 + 0 i   vừa là số thực, vừa là số ảo.  2.   Hai số phức bằng nhau  Hai số phức là bằng nhau nếu phần thực và phần ảo của chúng tương ứng bằng nhau.  a   +   bi   =   c   +   di        a   =   c b   =   d ,   với   a, b, c, d      R .  VÍ DỤ 2.   Tìm các số thực   x ,   y   biết rằng   (2 x   + 1) + (3 y      2) i   = ( x   + 2) + ( y   + 4) i .  Lời giải.  Từ định nghĩa ta có     2 x   + 1 =   x   + 2 3 y      2 =   y   + 4        x   = 1  y   = 3 .     3.   Biểu diễn hình học của số phức     M   ( a ;   b )   trong hệ trục tọa độ vuông góc của mặt phẳng được gọi là điểm biểu diễn của số phức   z   =   a   +   bi .  VÍ DỤ 3.  Quan sát hình vẽ bên cạnh, ta có  1      A   biểu diễn cho số phức . . . . . . . . . . . . . . .  2      B   biểu diễn cho số phức . . . . . . . . . . . . . . .  3      C   biểu diễn cho số phức . . . . . . . . . . . . . . .  4      D   biểu diễn cho số phức . . . . . . . . . . . . . . .  x y  3  A  2 2  B  3   3  C    2 3   D O  Lời giải.  Ta có  "Toán học là môn thể dục của trí tuệ "  Isocrates   Trang 1PAGE TOÁN HỌC SƠ CẤP https://www.facebook.com/MATHDDT/   L A TEX  1      A   biểu diễn cho số phức   z   = 3 + 2 i .  2      B   biểu diễn cho số phức   z   = 2      3 i .  3      C   biểu diễn cho số phức   z   =    3      2 i .  4      D   biểu diễn cho số phức   z   = 3 i .    4.   Mô-đun của số phức  Giả sử số phức   z   =   a   +   bi      M   ( a ;   b )   trên mặt phẳng tọa độ.  1      #     OM      z   và được ký hiệu là   | z | . Khi đó,   | z |   =       #     OM       =   | a   +   bi |   =    a 2   +   b 2 .  2   Kết quả, với mọi số phức   z   ta có (a)   | z | ≥   0   và   | z |   = 0      z   = 0 . (b)   z       ̄ z   =   | z | 2 . (c)   | z |   =   |  ̄ z | . (d)   | z 1      z 2 |   =   | z 1 | · | z 2 | . (e)       z 1  z 2        =   | z 1 | | z 2 |   .  x y a M b O  VÍ DỤ 4.   Tìm mô-đun của các số phức sau  1   z   = 3      2 i    z |   =   | 3      2 i |   =    . . . . . . . . .   =   . . . . . .  2   z   = 1 +   i  3    z |   =   | 1 +   i  3 |   =    . . . . . . . . .   =   . . . . . .  Lời giải.  Ta có  1   | z |   =   | 3      2 i |   =    3 2   + (  2) 2   =    13 .  2   | z |   =   | 1 +   i  3 |   =    1 2   + (  3) 2   = 2 .    5.   Số phức liên hợp     Cho số phức   z   =   a   +   bi ,   ( a, b      R ) . Ta gọi   a      bi   là số phức liên hợp của   z   và được ký hiệu là   ̄ z   =   a      bi .  VÍ DỤ 5.  1   Cho   z   =    3      2 i       ̄ z   =   . . . . . . . . .  2   Cho    ̄ z   = 4 + 3 i      z   =   . . . . . . . . .  Lời giải.  1   Cho   z   =    3      2 i       ̄ z   =    3 + 2 i .  2   Cho    ̄ z   = 4 + 3 i      z   = 4      3 i .    Trang 2   "Toán học là môn thể dục của trí tuệ "  Isocrates

Hướng dẫn giải các dạng toán số phức

Mục lục  Chương 1.   Số phức   2  1.1   Tập hợp biểu diễn số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   2 1.2   Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn   . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   28 1.3   Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   28  Chương 2.   Tiếp tuyến   31  2.1   Hàm phân thức   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   31 2.2   Hàm bậc ba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   36 1Chương 1 Số phức  1.1   Tập hợp biểu diễn số phức  Tính chất 1.1  Cho hai số phức   z   và   z 1 . Gọi   M   là điểm biểu diễn cho số phức   z ,   A   là điểm biểu diễn cho số phức   z 1 . Đại lượng   | z      z 1 |   là độ dài đoạn thẳng   AM .  Chứng minh.   Gọi   M ( x ,   y ) ,   A ( x 1 ,   y 1 ) . Ta có  | z      z 1 | =    ( x      x 1 ) 2   +   ( y      y 1 ) 2 .  Tính chất 1.2  Cho số phức   z 1   =   a   +   b i , tập hợp các điểm biểu diễn số phức   z   thoả   | z      z 1 | =   R   là đường tròn tâm   I ( a ;   b ) , bán kính   R .  Chứng minh.   Gọi   M ( x ,   y ) . Từ giả thiết ta có  ( x      a ) 2   +   ( y      b ) 2   =   R 2 .  Ví dụ 1.1  Tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức   z   thoả   | z   +   2      i | =   3   là đường tròn tâm   (  2 ,   1)  bán kính   R   =   3 .  Ví dụ 1.2  Tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức   z   thoả   | z   +   i | =   1   là đường tròn tâm   (0 ,    1)   bán kính   R   =   1 .  2

Tập hợp biểu diễn số phức – Trần Văn Toàn

T  NG ÔN  C  C TR    S    PH  C  Wednesday , 21 April  Luôn yêu đ    S  ng, luôn s  ng đ    h  c Toán, luôn h  c toán đ    Y   S  u   t  m và biên so  n: Ph  m M in h Tu  n1 PMT  Contents  CHUYÊN Đ    C  C TR    S    PH  C   ................................ ................................ ................................ ........   1  1.   M  T S    VÍ D    MÌNH H  A  ................................ ................................ ................................ .........   1  2.       T    LUY  N  ................................ ................................ ................................ ................................ ...   4      S    1  ................................ ................................ ................................ ................................ ...................   4       T Đ    S    1  ................................ ................................ ................................ ...   7      S    2  ................................ ................................ ................................ ................................ .................   14       T Đ    S    2  ................................ ................................ ................................ .   16      S    3  ................................ ................................ ................................ ................................ .................   22       T Đ    S    3  ................................ ................................ ................................ .   25      S    4  ................................ ................................ ................................ ................................ .................   33       T Đ    S    4  ................................ ................................ ................................ .   35      S    5  ................................ ................................ ................................ ................................ .................   44       T Đ    S    5  ................................ ................................ ................................ .   48  CHUYÊN Đ    C  C TR    S    PH  C  1.   MỘT SỐ VÍ DỤ MÌNH HỌA  Ví d    1:   [THPT Nguy  n Khuy  n] Xét s    ph  c z   th  a mãn           2   1   3   2   2. z   z   i   M  nh đ    nào  dư  i đây đúng?  A.    2 z   .   B.    1 2  z   .   C.      1   3 2   2  z   .   D.      3   2 2   z   .  HƯ  NG D  N GI  I  Cách   1 .   Ch  n  z   i   .  Cách   2 .                                  2   2   2   1   3   2   1 z   z   i   z   z   i   z   i                      2   1 z   z   i   z   i                       2   1   2   2   2   2 i   z   i   z   i  .  D  u  "   "   x  y ra khi       0 z   i   hay  z   i          1. z   i   .

Tổng ôn cực trị số phức – Phạm Minh Tuấn

CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG    Nguyễn Bảo Vương : https://www.facebook.com/phong.baovuong   1  CHUYÊN   MỤC LỤC  Phần A. CÂU HỎI  .......................................................................................................................................................... 1  Dạng 1. Xác định các yếu tố cơ bản của số phức   ......................................................................................................... 1  Dạng 1.1 Xác định phần thực, phần ảo của số phức   .................................................................................................... 1  Dạng 1.2 Xác định số phức liên hợp, số phức đối, môđun của số phức ....................................................................... 2  Dạng 2. Biểu diễn hình học cơ bản của số phức   .......................................................................................................... 3  Dạng 3. Thực hiện các phép tính cộng, trừ, nhân, chia cơ bản của số phứ c  ............................................................. 6  Dạng 3.1 Phép tính cộng trừ 2 số phức   ........................................................................................................................ 6  Dạng 3.2 Phép tính nhân, chia 2 số phức   ..................................................................................................................... 7  Dạng 4. Tìm số phức thỏa mãn điều kiện cho trước   ................................................................................................. 10  Dạng 4.1 Điều kiện cho trước không chứa yếu tố môđun  .......................................................................................... 10  Dạng 4.2 Điều kiện cho trước chứa yếu tố môđun  ..................................................................................................... 12  Phần B. LỜI GIẢI THAM KHẢO   ............................................................................................................................. 16  Dạng 1. Xác định các yếu tố cơ bản của số phức   ....................................................................................................... 16  Dạng 1.1 Xác định phần thực, phần ảo của số phức   .................................................................................................. 16  Dạng 1.2 Xác định số phức liên hợp, số phức đối, môđun của số phức ..................................................................... 16  Dạng 2. Biểu diễn hình học cơ bản của số phức   ........................................................................................................ 17  Dạng 3. Thực hiện các phép tính cộng, trừ, nhân, chia cơ bản của số phức  ........................................................... 18  Dạng 3.1 Phép tính cộng trừ 2 số phức   ...................................................................................................................... 18  Dạng 3.2 Phép tính nhân, chia 2 số phức   ................................................................................................................... 18  Dạng 4. Tìm số phức thỏa mãn điều kiện cho trước   ................................................................................................. 21  Dạng 4.1 Điều kiện cho trước không chứa yếu tố môđun  .......................................................................................... 21  Dạng 4.2 Điều kiện cho trước chứa yếu tố môđun  ..................................................................................................... 25  Phần A. CÂU HỎI Dạng 1. Xác định các yếu tố cơ bản của số phức Dạng 1.1 Xác định phần thực, phần ảo của số phức Câu 1.   (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) Số phức có phần thực bằng   1   và phần ảo bằng   3   là A.   1   3 i    B.   1   3 i    C.   1   3 i    D.   1   3 i  Câu 2.   (MĐ 103 BGD&ĐT NĂM 2017-2018) Số phức   5   6 i    có phần thực bằng A.   6    .   B.   6   .   C.   5    .   D.   5 Câu 3.   (Mã đề 102 BGD&ĐT NĂM 2018) Số phức có phần thực bằng   3   và phần ảo bằng   4   là  KHÁI NIỆM SỐ PHỨC, CÁC PHÉP TOÁN SỐ PHỨC  VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUANCÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG    Nguyễn Bảo Vương : https://www.facebook.com/phong.baovuong   2  A.   3   4 i    B.   4   3 i    C.   3   4 i    D.   4   3 i  Câu 4.   (ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2017) Kí hiệu   , a b   lần lượt là phần thực và phần ảo của số phức 3   2   2 i    . Tìm   a   ,   b   . A.   3;   2 a   b       B.   3;   2   2 a   b       C.   3;   2 a   b       D.   3;   2   2 a   b      Câu 5.   (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) Số phức   3   7 i    có phần ảo bằng: A.   7   B.   7    C.   3    D.   3 Câu 6.   (MÃ ĐỀ 123 BGD&DT NĂM 2017) Số phức nào dưới đây là số thuần ảo. A.       3 z   i   B.    2 z   C.       2   3 z   i   D.      3 z   i Câu 7.   (MĐ 105 BGD&ĐT NĂM 2017) Cho số phức       2   3 z   i   . Tìm phần thực   a   của   z   ? A.      2 a   B.      3 a   C.    2 a   D.    3 a Câu 8.   (THPT CẨM GIÀNG 2 NĂM 2018-2019) Cho số phức   3   4 z   i       . Tìm phần thực và phần ảo của số phức   z   . A. Phần thực là   4    và phần ảo là   3 i   .   B. Phần thực là   3   và phần ảo là   4    . C. Phần thực là   4    và phần ảo là   3   .   D. Phần thực là   3   và phần ảo là   4 i    . Câu 9.   (ĐỀ MINH HỌA GBD&ĐT NĂM 2017) Cho số phức   3   2 z   i       . Tìm phần thực và phần ảo của số phức   z : A. Phần thực bằng   3   và Phần ảo bằng   2 i   B. Phần thực bằng   3   và Phần ảo bằng   2 C. Phần thực bằng   3    và Phần ảo bằng   2 i    D. Phần thực bằng   3    và Phần ảo bằng   2  Dạng 1.2 Xác định số phức liên hợp, số phức đối, môđun của số phức Câu 10.   (Mã đề 104 - BGD - 2019) Số phức liên hợp của số phức   3   2 z   i       là. A.   3   2 i    .   B.   3   2 i    .   C.   2   3 i       .   D.   3   2 i    . Câu 11.   (Mã 103 - BGD - 2019) Số phức liên hợp của số phức   1   2 i    là: A.   1   2 i    .   B.   1   2 i    .   C.   2   i       .   D.   1   2 i    . Câu 12.   (MĐ 104 BGD&DT NĂM 2017) Cho số phức   2 z   i       . Tính   z   . A.   5 z      B.   5 z      C.   2 z      D.   3 z     Câu 13.   (Mã 102 - BGD - 2019) Số phức liên hợp của số phức   5   3 i    là A.   3   5 i    .   B.   5   3 i       .   C.   5   3 i    .   D.   5   3 i       . Câu 14.   (Mã đề 101 - BGD - 2019) Số phức liên hợp của số phức   3   4 i    là A.   3   4 i    .   B.   4   3 i       .   C.   3   4 i    .   D.   3   4 i    . Câu 15.   (THPT GIA LỘC HẢI DƯƠNG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho số phức   3   2 z   i       . Tìm phần thực và phần ảo của số phức   z   . A. Phần thực bằng   3    và phần ảo bằng   2    . B. Phần thực bằng   3   và phần ảo bằng   2    . C. Phần thực bằng   3   và phần ảo bằng   2 i    . D. Phần thực bằng   3   và phần ảo bằng   2   . Câu 21 Cho số phức   3   2 z   i       . Tìm phần thực và phần ảo của số phức   z . A. Phần thực bằng   3   và phần ảo bằng   2 i   .   B. Phần thực bằng   3    và phần ảo bằng   2    . C. Phần thực bằng   3    và phần ảo bằng   2 i    .   D. Phần thực bằng   3   và phần ảo bằng   2   . Câu 16.   (CHUYÊN HẠ LONG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Số phức đối của   5   7 z   i       là? A.   5   7 z   i       .   B.   5   7 z   i       .   C.   5   7 z   i       .   D.   5   7 z   i          .

Các dạng toán số phức thường gặp trong kỳ thi THPTQG

1 | Nguyễn Tài Chung - Giáo viên THPT Chuyên Hùng Vương - Gia Lai  MỤC LỤC  1   Số phức và một vài ứng dụng   1 A   Lý thuyết   1 B   Ví dụ giải toán   5 C   Bài tập   14 1      14 2   Lời giải   16 D   Sử dụng số phức chứng minh bất đẳng thức   23 E   Sử dụng số phức giải phương trình, hệ phương trình   29 F   Hệ lặp sinh bởi các đa thức đối xứng ba biến   36 2   Sử dụng số phức để giải phương trình hàm đa thức   39  BÀI   1.   SỐ PHỨC VÀ MỘT VÀI ỨNG DỤNG  A. LÝ THUYẾT  1. Một số định nghĩa.     Một số phức   z   là một biểu thức dạng   z   =   a   +   bi , trong đó   a   và   b   là những số thực và   i   là số thỏa mãn   i 2   =    1 . Số   a   gọi là phần thực,   b   gọi là phần ảo của số phức  z   =   a   +   bi , còn   i   gọi là đơn vị ảo.     Cho hai số phức   z   =   a   +   bi   và   z    =   a    +   b  i . Khi đó:  z   =   z      {   a   =   a   b   =   b  .     Tập hợp tất cả các số phức thường được ký hiệu là   C . Vậy:  C   =   { a   +   bi | a ,   b      R } .     Số phức   z   =   a   +   0 i   có phần ảo bằng   0     a   +   0 i   =   a      R      C .  MỤC LỤC2 | Nguyễn Tài Chung - Giáo viên THPT Chuyên Hùng Vương - Gia Lai     Số phức   z   =   0   +   bi   có phần thực bằng   0    và viết là   z   =   bi .     Số   0   =   0   +   0 i   =   0 i   vừa là số thực vừa là số ảo.  2. Môđun của số phức.   Cho số phức   z   =   a   +   bi , khi đó    a 2   +   b 2    dài) của   z ,   ký hiệu là   | z | .   Vậy   | z |   =    a 2   +   b 2 .  3. Số phức liên hợp.   Cho   z   =   a   +   bi      C , khi đó số phức liên hợp với   z   là   z   =   a      bi .  4. Biểu diễn hình học của số phức.   Trong mặt phẳng tọa độ   Oxy , mỗi số phức   z   =   a   +   bi     M ( a ;   b ) .   Ngược lại mỗi điểm   M ( a ;   b )   biểu diễn một số phức là  z   =   a   +   bi . Ta còn viết là   M ( a   +   bi )   hay   M ( z ) .  5. Các phép toán trên số phức.   Cho hai số phức   z   =   a   +   bi   và   z    =   a    +   b  i . Khi đó:     Tổng của hai số phức   z   và   z    là:   z   +   z    = ( a   +   a  ) + ( b   +   b  )   i .     Số đối của số phức   z   =   a   +   bi   là số phức    z   =    a      bi .     Hiệu của hai số phức   z   và   z    là:   z      z    = ( a      a  ) + ( b      b  )   i .     Tích của hai số phức   z   và   z    là:   zz    = ( aa       bb  ) + ( ab    +   a  b )   i .     Nghịch đảo của số phức   z   =   a   +   bi   6   =   0   là:  z  1   =   1  a 2   +   b 2   ( a      bi )  (  =   z  | z | 2  )  .     Thương của hai số phức   z   và   z    6   =   0   là:  z z    =   z . z  1   = ( a   +   bi )  (   a   a  2   +   b  2      b   a  2   +   b  2   i  )  =   aa    +   bb   a  2   +   b  2      ab       a  b a  2   +   b  2   i .     Lũy thừa của số phức   z     z 0   =   1,   z n   =   z . z   . . .   z         n   chữ   z  với   n      N  .  z n   =   1  z  n   ,   với   z   6   =   0,   n   =    1,    2,    3, . . .     Căn bậc   n   ( n      N  )   của số phức   z ,   kí hiệu   n   z , là số phức   z 1   sao cho   z n  1   =   z .  Chú ý 1.     z z    =   z . z   z  . z    =   z . z   | z  | 2   .  Tức là để tìm   z z    ta chỉ cần nhân tử và mẫu cho số phức liên hợp của   z  .  6. Tìm căn bậc hai của số phức   z .  MỤC LỤC